Đến nội dung

TrongDuong

TrongDuong

Đăng ký: 16-05-2014
Offline Đăng nhập: 10-09-2016 - 20:42
****-

#640068 Chứng minh IP // BC

Gửi bởi TrongDuong trong 13-06-2016 - 16:15

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I có trực tâm H. Gọi K là trung điểm AH. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với BK và cắt AC tại P. Chứng minh IP// BC.




#529395 Tìm xác suất đi tới m sau n bước

Gửi bởi TrongDuong trong 18-10-2014 - 18:20

A đang đứng tại vị trí 0 trên trục số. Biết mỗi bước đi, A có thể tới hoặc lui 1 đơn vị. Sau N bước đi, tính xác suất A tới được vị trí M trên trục số




#518696 $\overline{abc}=a^3+b^3+c^3$

Gửi bởi TrongDuong trong 09-08-2014 - 21:56

Tìm số có 3 chữ số

$\overline{abc}=a^3+b^3+c^3$




#518148 Cho: $x+y=2007$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:...

Gửi bởi TrongDuong trong 07-08-2014 - 07:30

$m=x^3+y^3+2xy=S^3-3SP+2P=2007^3-6021P+2P=2007^3-6019P\geq 2007^3-\frac{6019S^2}{4}=\frac{8092350441}{4}$

 

Hình như ko có max




#517144 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x...

Gửi bởi TrongDuong trong 02-08-2014 - 17:02

hình như đề phải thêm đk  a>0

sau đó ta lấy VP trừ VT quy đồng có;

$(a^{2}+b^{2})xy-(x^{2}+y^{2})ab=(bx-ay)(by-ax)$

Măt khác theo gt có:

$bx-ay\geq ba-ab=0$

tương tự ta cũng có $by-ax\geq 0$

suy ra $(a^{2}+b^{2})xy\geq (x^{2}+y^{2})ab$

ta có dpcm >:)

Cảm ơn bạn nha, tại mình ko nhớ chắc đề là a có dương ko :))




#517129 $2015(x^2+y^2)-2014(2xy+1)=25$

Gửi bởi TrongDuong trong 02-08-2014 - 15:47

Đúng rồi đề này là bài 1 điểm vòng 2 của trường chuyên nào đó.

Bài này đề chuyên TPHCM, hôm thi mình làm thế này:

$2014(x-y)^2+x^2+y^2=2039$

$x=y$ không là nghiệm

Suy ra $(x-y)^2=1$ vì nếu $(x-y)^2\neq 1$ thì VT > 2039

Do đó x,y là hai số nguyên liên tiếp và $x^2+y^2= 25$

Giả sử $x^2< y^2$

 

$\Rightarrow x^2=9;y^2=16$

(x;y)=(3;4)(-3;-4) và hoán vị




#517118 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x...

Gửi bởi TrongDuong trong 02-08-2014 - 15:10

Cho $x,y\epsilon \left [ a;b \right ]$ . Chứng minh

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$




#516909 $x^{2}.\sqrt[4]{2-x^{4}}-1=x^{4}-x^{3}$

Gửi bởi TrongDuong trong 01-08-2014 - 16:46

 

f)$3.\sqrt{x^{3}+8}=2(x^{2}-3x+2)$

Đặt $a=x^2-2x+4; b=x+2$

pt <=> $3\sqrt{ab}=2(a-b)$

$\Leftrightarrow b=\frac{a}{4}\vee b=4a$

Thế vô giải tiếp thôi




#516907 Tìm x để P nguyên: P=$\frac{2\sqrt{x}}...

Gửi bởi TrongDuong trong 01-08-2014 - 16:36

Xét x=0 -> P=0

Xét $x\neq 0$

$P=\frac{2}{\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$

$\Rightarrow \sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}$ là thuộc Ư(2)

Mà $\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq 1$

Nên $\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}=1$ hoặc $\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}=2$




#516210 S= $\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+...

Gửi bởi TrongDuong trong 29-07-2014 - 01:40

$S^2=(\sum \sqrt{a}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^2+1}})\leq (\sum a)(\sum \frac{a}{a^2+1})\leq \sqrt{3}(\sum \frac{a}{a^2+1})$

 

Do $a^2+1=a^2+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\geq \frac{2(a\sqrt{3}+1)}{3}$

 

Nên $S^2\leq \sqrt{3}(\sum \frac{3a}{2(a\sqrt{3}+1)})=\frac{3\sqrt{3}}{2}(\frac{a}{a\sqrt{3}+1})$

 

Có $\sum \frac{a}{a\sqrt{3}+1}=3\frac{1}{\sqrt{3}}-(\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)})=\sqrt{3}-(\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)})$

 

Như vậy ta chỉ cần tim của $\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)}$

 

 

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)}\geq \frac{9}{3(a+b+c)+3\sqrt{3}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

 

$S^2\leq \frac{9}{4}$

 

=> đpcm :))

 

p/s: cái số cô hồn quá :3




#516038 $\sum \frac{1}{4a^2-ab+4b^2}\geq...

Gửi bởi TrongDuong trong 28-07-2014 - 16:36

KMTTQ, chuẩn hóa $\sum a^2=3$

BĐT viết lại thành

$\left ( 4\sum a^2-\sum ab \right )\left ( \sum \frac{1}{4a^2-ab+4b^2} \right ) \geq \frac{9\left ( 4\sum a^2-\sum ab \right )}{7\left ( \sum a^2 \right )}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{4c^2-cb-ca}{4a^2-ab+4b^2}+\frac{9\left ( \sum ab \right )}{7\left ( \sum a^2 \right )}\geq \frac{15}{7}$

 

Mà $\sum \frac{4c^2-cb-ca}{4a^2-ab+4b^2}\geq \frac{\left ( 4\sum a^2-2\sum ab \right )^2}{\sum (4c^2-cb-ca)(4a^2-ab+4b^2)}=\frac{(36-10\sum ab)^2}{40(\sum ab)^2-36\sum ab-70abc}$

 

nên ta chỉ cần c/m 

 

$\frac{(36-10\sum ab)^2}{40(\sum ab)^2-36\sum ab-70abc}+\frac{9\sum ab}{7(9-2\sum ab)}\geq \frac{15}{7}$

 

Đặt $\sum ab=q, abc=r$

 

 

$\frac{(36-10q)^2}{40q^2-36q-70r}+\frac{9q}{7(9-2q)}\geq \frac{15}{7}$

 

$$\Leftrightarrow 2(40q^3+2394q^2-14661q+20412)+315(45-13q)r\geq 0$$

 

Xét TH: $q\leq \frac{9}{4}$

$\Rightarrow 40q^3+2394q^2-14661q+20412=(4q-9)(10q^2+621q-2268)\geq 0$

 

Nếu $3\geq q\geq \frac{9}{4}$

 

mà $r \geq \frac{4q-9}{3}$

 

Nên $2(40q^3+2394q^2-14661q+20412)+315(45-13q)r\geq (q-3)(4q-9)(20q-63)\geq 0$

 

2 bđt cuối của 2 TH đúng 

=> bđt được chứng minh 

 

Nói vậy thôi chứ bài này mình chép từ tài liệu ra ấy, chứ sao làm nổi :)




#515910 $\sum \frac{1}{4a^2-ab+4b^2}\geq...

Gửi bởi TrongDuong trong 28-07-2014 - 07:30

$\sum \frac{1}{4a^{2}-ab+4b^{2}}\geq \frac{9}{8\sum a^{2}-\sum ab}\geq \frac{9}{7\sum a^{2}}$suy ra dpcm

$\sum ab\leq \sum a^2\Rightarrow 8\sum a^2-\sum ab\geq 7\sum a^2$

$\Rightarrow  \frac{9}{8\sum a^{2}-\sum ab}\leq \frac{9}{7\sum a^{2}}$

???




#515841 Giải phương trình nghiệm nguyên $7x^2+2=y^2$

Gửi bởi TrongDuong trong 27-07-2014 - 21:22

$7x^2-2=y^2$

=> x,y cùng tính chẵn lẻ

Xét x,y chẵn (x=2k, y=2l, với k;l thuộc Z)

$28k^2-2=4l^2$ 

$\Leftrightarrow 14k^2-1=2n^2$

Vô lí

 

Vậy x,y cùng lẻ (x=2m+1, y=2n+1)

$7m^2+7m+1=n^2+n$

$VT\equiv 1(mod7)$

$VP\equiv 0;2;5;6(mod7)$

=> Mâu thuẫn

 

Vậy pt vô nghiêm :)




#515635 $3^n=2^n+7n$

Gửi bởi TrongDuong trong 26-07-2014 - 22:36

n=1 (ko thỏa)

 

Xét n chẵn

$\Rightarrow 2^n+7n$ chẵn

Mà $3^n$ lẻ

=> Vô lí.

 

Vậy n lẻ

$3^n\equiv 3,5,6(mod7)$

$2^n\equiv 1,2,4(mod7)$

$7n\vdots 7$

Vô lí

 

Vậy không tồn tại n




#515589 $x\sqrt[3]{25-x^{3}}(x+\sqrt[3]{25-x^...

Gửi bởi TrongDuong trong 26-07-2014 - 19:44

Đặt $y=\sqrt[3]{25-x^3}$

Ta có hpt

$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=25\\ xy(x+y)=30 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (x+y)^3=115\Leftrightarrow x+y=\sqrt[3]{115}\Leftrightarrow x+\sqrt[3]{25-x^3}=\sqrt[3]{115}$