Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I có trực tâm H. Gọi K là trung điểm AH. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với BK và cắt AC tại P. Chứng minh IP// BC.
- tritanngo99 yêu thích
Gửi bởi TrongDuong trong 13-06-2016 - 16:15
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I có trực tâm H. Gọi K là trung điểm AH. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với BK và cắt AC tại P. Chứng minh IP// BC.
Gửi bởi TrongDuong trong 18-10-2014 - 18:20
A đang đứng tại vị trí 0 trên trục số. Biết mỗi bước đi, A có thể tới hoặc lui 1 đơn vị. Sau N bước đi, tính xác suất A tới được vị trí M trên trục số
Gửi bởi TrongDuong trong 09-08-2014 - 21:56
Gửi bởi TrongDuong trong 07-08-2014 - 07:30
$m=x^3+y^3+2xy=S^3-3SP+2P=2007^3-6021P+2P=2007^3-6019P\geq 2007^3-\frac{6019S^2}{4}=\frac{8092350441}{4}$
Hình như ko có max
Gửi bởi TrongDuong trong 02-08-2014 - 17:02
hình như đề phải thêm đk a>0
sau đó ta lấy VP trừ VT quy đồng có;
$(a^{2}+b^{2})xy-(x^{2}+y^{2})ab=(bx-ay)(by-ax)$
Măt khác theo gt có:
$bx-ay\geq ba-ab=0$
tương tự ta cũng có $by-ax\geq 0$
suy ra $(a^{2}+b^{2})xy\geq (x^{2}+y^{2})ab$
ta có dpcm
Cảm ơn bạn nha, tại mình ko nhớ chắc đề là a có dương ko
Gửi bởi TrongDuong trong 02-08-2014 - 15:47
Đúng rồi đề này là bài 1 điểm vòng 2 của trường chuyên nào đó.
Bài này đề chuyên TPHCM, hôm thi mình làm thế này:
$2014(x-y)^2+x^2+y^2=2039$
$x=y$ không là nghiệm
Suy ra $(x-y)^2=1$ vì nếu $(x-y)^2\neq 1$ thì VT > 2039
Do đó x,y là hai số nguyên liên tiếp và $x^2+y^2= 25$
Giả sử $x^2< y^2$
$\Rightarrow x^2=9;y^2=16$
(x;y)=(3;4)(-3;-4) và hoán vị
Gửi bởi TrongDuong trong 02-08-2014 - 15:10
Cho $x,y\epsilon \left [ a;b \right ]$ . Chứng minh
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Gửi bởi TrongDuong trong 01-08-2014 - 16:46
f)$3.\sqrt{x^{3}+8}=2(x^{2}-3x+2)$
Đặt $a=x^2-2x+4; b=x+2$
pt <=> $3\sqrt{ab}=2(a-b)$
$\Leftrightarrow b=\frac{a}{4}\vee b=4a$
Thế vô giải tiếp thôi
Gửi bởi TrongDuong trong 01-08-2014 - 16:36
Xét x=0 -> P=0
Xét $x\neq 0$
$P=\frac{2}{\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$
$\Rightarrow \sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}$ là thuộc Ư(2)
Mà $\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq 1$
Nên $\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}=1$ hoặc $\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}=2$
Gửi bởi TrongDuong trong 29-07-2014 - 01:40
$S^2=(\sum \sqrt{a}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^2+1}})\leq (\sum a)(\sum \frac{a}{a^2+1})\leq \sqrt{3}(\sum \frac{a}{a^2+1})$
Do $a^2+1=a^2+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\geq \frac{2(a\sqrt{3}+1)}{3}$
Nên $S^2\leq \sqrt{3}(\sum \frac{3a}{2(a\sqrt{3}+1)})=\frac{3\sqrt{3}}{2}(\frac{a}{a\sqrt{3}+1})$
Có $\sum \frac{a}{a\sqrt{3}+1}=3\frac{1}{\sqrt{3}}-(\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)})=\sqrt{3}-(\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)})$
Như vậy ta chỉ cần tim của $\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)}$
$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)}\geq \frac{9}{3(a+b+c)+3\sqrt{3}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S^2\leq \frac{9}{4}$
=> đpcm
p/s: cái số cô hồn quá :3
Gửi bởi TrongDuong trong 28-07-2014 - 16:36
KMTTQ, chuẩn hóa $\sum a^2=3$
BĐT viết lại thành
$\left ( 4\sum a^2-\sum ab \right )\left ( \sum \frac{1}{4a^2-ab+4b^2} \right ) \geq \frac{9\left ( 4\sum a^2-\sum ab \right )}{7\left ( \sum a^2 \right )}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{4c^2-cb-ca}{4a^2-ab+4b^2}+\frac{9\left ( \sum ab \right )}{7\left ( \sum a^2 \right )}\geq \frac{15}{7}$
Mà $\sum \frac{4c^2-cb-ca}{4a^2-ab+4b^2}\geq \frac{\left ( 4\sum a^2-2\sum ab \right )^2}{\sum (4c^2-cb-ca)(4a^2-ab+4b^2)}=\frac{(36-10\sum ab)^2}{40(\sum ab)^2-36\sum ab-70abc}$
nên ta chỉ cần c/m
$\frac{(36-10\sum ab)^2}{40(\sum ab)^2-36\sum ab-70abc}+\frac{9\sum ab}{7(9-2\sum ab)}\geq \frac{15}{7}$
Đặt $\sum ab=q, abc=r$
$\frac{(36-10q)^2}{40q^2-36q-70r}+\frac{9q}{7(9-2q)}\geq \frac{15}{7}$
$$\Leftrightarrow 2(40q^3+2394q^2-14661q+20412)+315(45-13q)r\geq 0$$
Xét TH: $q\leq \frac{9}{4}$
$\Rightarrow 40q^3+2394q^2-14661q+20412=(4q-9)(10q^2+621q-2268)\geq 0$
Nếu $3\geq q\geq \frac{9}{4}$
mà $r \geq \frac{4q-9}{3}$
Nên $2(40q^3+2394q^2-14661q+20412)+315(45-13q)r\geq (q-3)(4q-9)(20q-63)\geq 0$
2 bđt cuối của 2 TH đúng
=> bđt được chứng minh
Nói vậy thôi chứ bài này mình chép từ tài liệu ra ấy, chứ sao làm nổi
Gửi bởi TrongDuong trong 28-07-2014 - 07:30
$\sum \frac{1}{4a^{2}-ab+4b^{2}}\geq \frac{9}{8\sum a^{2}-\sum ab}\geq \frac{9}{7\sum a^{2}}$suy ra dpcm
$\sum ab\leq \sum a^2\Rightarrow 8\sum a^2-\sum ab\geq 7\sum a^2$
$\Rightarrow \frac{9}{8\sum a^{2}-\sum ab}\leq \frac{9}{7\sum a^{2}}$
???
Gửi bởi TrongDuong trong 27-07-2014 - 21:22
$7x^2-2=y^2$
=> x,y cùng tính chẵn lẻ
Xét x,y chẵn (x=2k, y=2l, với k;l thuộc Z)
$28k^2-2=4l^2$
$\Leftrightarrow 14k^2-1=2n^2$
Vô lí
Vậy x,y cùng lẻ (x=2m+1, y=2n+1)
$7m^2+7m+1=n^2+n$
$VT\equiv 1(mod7)$
$VP\equiv 0;2;5;6(mod7)$
=> Mâu thuẫn
Vậy pt vô nghiêm
Gửi bởi TrongDuong trong 26-07-2014 - 22:36
n=1 (ko thỏa)
Xét n chẵn
$\Rightarrow 2^n+7n$ chẵn
Mà $3^n$ lẻ
=> Vô lí.
Vậy n lẻ
$3^n\equiv 3,5,6(mod7)$
$2^n\equiv 1,2,4(mod7)$
$7n\vdots 7$
Vô lí
Vậy không tồn tại n
Gửi bởi TrongDuong trong 26-07-2014 - 19:44
Đặt $y=\sqrt[3]{25-x^3}$
Ta có hpt
$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=25\\ xy(x+y)=30 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (x+y)^3=115\Leftrightarrow x+y=\sqrt[3]{115}\Leftrightarrow x+\sqrt[3]{25-x^3}=\sqrt[3]{115}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học