taovanchi

Cho các số thực không âm thoả mãn $z\geq y\geq x$, xy+yz+zx> 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{x+z}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}$.

 

 

Bài này cầng chứng minh bổ đề $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}\geq \sqrt{\frac{x+y}{z}}$ nhưng mình không biết xuất phát từ đâu tìm ra bổ đề đó. Mong mọi người giúp !!!1

sử dụng BDT cosi: $\sqrt{x(y+z)}\leq \frac{x+y+z}{2}\Rightarrow 1\geq 2\frac{\sqrt{x(y+z)}}{x+y+z}$

nhân cả 2 vế cho: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

tương tự trên: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}\geq \frac{2(x+y)}{(x+y)+z}\geq \frac{2(x+y)}{2\sqrt{(x+y)z}}\doteq \sqrt{\frac{x+y}{z}}$

 

 

 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq \frac{4}{3}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-2z \right )^{2}+\left ( 4xz-1 \right )^{2}\geq 0$

 

$\Rightarrow P\leq \frac{10}{3}$

vấn đề là ở đây rất khó để nhận ra được cực trị của biểu thức bạn chứng minh nếu không dự đoán được kết quả. nên nếu không biết trước lời giải khó co thể chứng minh theo cách này

ai có thể giải bài này bằng cách khác không chứ việc xử lý $\frac{3}{z^2+1}$ hơi khó làm

$xyz+x-y+z=0 \Leftrightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1-xz}{x+z}$

biểu thức dưới mẫu số dạng $1+x^2$

đặt $x=tan\frac{a}{2}$, $\frac{1}{y}=tan\frac{b}{2}$, $z=tan\frac{c}{2}$

$y=\frac{x+z}{1-xz}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1-xz}{x+z}\Leftrightarrow tan\frac{b}{2}=\frac{1-tan\frac{a}{2}tan\frac{c}{2}}{tan\frac{a}{2}+tan\frac{c}{2}}=cot(\frac{a}{2}+\frac{c}{2})\Leftrightarrow \frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow a+b+c=\pi$

$P=2cos^{2}\frac{a}{2}-2sin^{2}\frac{b}{2}+3cos^{2}\frac{c}{2}=1+cos{a}-(1-cos{b})+3cos^{2}\frac{c}{2}=2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}+3cos^{2}\frac{c}{2}=3-3sin^{2}\frac{c}{2}+2sin\frac{c}{2}cos\frac{a-b}{2}$

$P=3+\frac{1}{3}3cos^{2}\frac{a-b}{2}-3(sin\frac{c}{2}-\frac{1}{3}cos(\frac{a-b}{2}))^2\leq \frac{10}{3}$

dấu "=" xảy ra khi $cos\frac{a-b}{2}=1$ và $sin\frac{c}{2}-\frac{1}{3}cos\frac{a-b}{2}=0$

$\Leftrightarrow a=b$ và$sin\frac{c}{2}=\frac{1}{3}$$\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}, y=\sqrt{2}, z=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

xem lại đề bài mới biết mình nhầm. mấy ngày nay cứ đi tìm giá trị nhỏ nhất .Trong khi đầu bài đúng là tìm giá trị lớn nhất.2```! nghĩ vỡ đầu mà không làm nổi hoá ra nhầm đề.