taolawho

 

KỲ THI OLYMPIC 30/4 LẦN THỨ XXI 

 

Bài 1(4 điểm)

Giải hệ phương trình : 

$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}+\frac{3}{x+y}=4\\ 2(4-3y)\sqrt{2x^{2}-1}=10y^{2}-20y+3x+4 \end{matrix}\right.$$

 

Bài 2(4 điểm)

Cho $\Delta ABC$. 1 đường thẳng song song $BC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $D,E$. $P$ là điểm trong tam giác $ADE$. $PB,PC$ theo thứ tự cắt $DE$ tại $M,N$.   $O_{1},O_{2}$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDN, PEM$. Gọi $I$ là giao điểm của $AP$ với $O_{1}O_{2}$. Tính $\widehat{AIO_{1}}$

 

Bài 3(3 điểm)

Cho a,b,c là các số thực dương sao cho $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

 Tìm max: $T=\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}$

 

Bài 4(3 điểm)

Cho 10 điểm thuộc mp tọa độ Oxy. Biết mỗi điểm đều có tọa độ nguyên. Tìm số tam giác ít nhất tạo bởi 3 trong 10 điểm trên có diện tích nguyên.

 

Bài 5(3 điểm)

Có 8 phong thư và 8 tem thư được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách dán tem vào thư sao cho có ít nhất 1 tem được đánh số trùng với số của phong thư.

 

Bài 6(3 điểm)

Tìm hàm $f:N*\rightarrow N*$ thỏa mãn: 

$f(m+f(n))=n+f(m+2015)$

 

Ps: năm nay 4 câu mới có vàng nhé !! 

@Juliel fixed

 

bài 1 

coooossi 4 số vế đầu suy ra x+y=1 hoặc x+y=-1

trong sách vũ hưu bình 9 .hệ A.B=2 và A+B=3

trước tiên dễ thấy f là toàn ánh và tồn tại t để f(t)=0 thay x =y=t ta có f(t^3)=t=f(t)^3 =0 suy ra t =0 
vậy f(0)=0 , cho x=0 thì có ngay f(f(y)=y với mọi y thuộc R
từ đó tay y bởi f(y) vào bài được ngay hàm cộng tính trên R

cho y=0 thì đc f(x^3)= f(x) ^3 

cho x=1 y=0 thì có ngay f(1)=1 hoặc f(1)=-1
nếu f(1)=1 thì thay y=0 x bởi x +1 và sử dụng tính chất cộng tính thì có ngay f(x^2)=f(x)^2 suy ra f(x).=0 với mọi x>=0 
từ đây suy ra f(x)=x
nếu f(1)=-1 thì thay y =0 và x bởi x+1 suy ra f(x^2)=-f^2(x) suy ra f(x) <=0 với mọi x>=0 suy ra f(x)=-x

vì sao f(t^3)=t=f(t)^3 =0 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

$cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).AB giao CD tại E,AD giao BC tại F,AC giao BD tại G.M,N,P lần lượt là trung điểm của AC,BD,EF. chứng minh PM.PN=phương tích của điểm P đối với (O)$

dùng pp hoán vị BĐT rồi đồng nhất thức giải ra liền