Nguyentiendung9372

Link event: https://www.facebook.com/events/1571370809790810/

Link đăng kí: https://goo.gl/nM9m5Y

 

Cậu có định tham gia không?

Uk

T sẽ tham gia chủ thớt ạ

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: $13^{n}-1 \vdots 2^{2015}

${\gamma _2}\left( {{{13}^n} - 1} \right) \ge {\gamma _2}\left( {{2^{2015}}} \right) \Leftrightarrow {\gamma _2}\left( {{{13}^2} - {1^2}} \right) + {\gamma _2}\left( n \right) - 1 \ge 2015 \Leftrightarrow 2 + {\gamma _2}\left( n \right) \ge 2015 \Leftrightarrow {\gamma _2}\left( n \right) \ge 2013 \Leftrightarrow n \ge {2^{2013}}$

Vậy GTNN của $n$ là $n = {2^{2013}}$

Mong là không nhầm

 $13^n-1 \vdots 2^{2015} \Rightarrow 13^n \equiv 1 (mod 2^{2015})$

Theo định lí $EURLE$ ta có:

$n=\varphi(2^{2015})=2^{2015}(1-\frac{1}{2})=2^{2014}$

Vậy $n=2^{2014}$ là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.  

Định lí Euler không phải lúc nào cũng cho số n nhỏ nhất

Một phản ví dụ:

Đặt:

$$(a,b,c)=(x-y,y-z,z-x)\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2$$

$$a^2+b^2+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2} \Leftrightarrow |abc|\leqslant \frac{2\sqrt{6}}{9}$$

$$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x) \geqslant -\frac{2\sqrt{6}}{9}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x-y=y-z=x-z=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ hoặc ... lười liệt kê

Tìm cụ thể dấu bằng đi