Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3}+2\sqrt{(x-1)(x^{2}-3x+5)}=4-2x$
Bạn xem lại đề đi nhé với đk $x\geq 3$ thì $VT$ dương còn $VP$ âm rồi nên $PTVN$
- Hide On Mask yêu thích
No Brain - No Pain
Gửi bởi tuananh2000 trong 25-06-2015 - 18:25
Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3}+2\sqrt{(x-1)(x^{2}-3x+5)}=4-2x$
Bạn xem lại đề đi nhé với đk $x\geq 3$ thì $VT$ dương còn $VP$ âm rồi nên $PTVN$
Gửi bởi tuananh2000 trong 25-06-2015 - 18:10
Từ từ mà lần thôi
Ta cm bđt sau $\frac{1}{11+a^{2}}\leq \frac{1}{12}+\frac{a-1}{72}$ hay $\frac{(a-1)^{2}(a-5)}{6(132+a^{2})}\leq 0$ ( luôn đúng với $0\leq a\leq 4$
TT rồi cộng theo vế được $ĐPCM$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Gửi bởi tuananh2000 trong 24-06-2015 - 14:07
Bài 151(Romania TST): Cho a,b,c>0. CMR: nếu $a^2+b^2+c^2=3$ thì
$\sum \frac{1}{a^2+b^3+c^2}\leq 1$
Ta xét $\frac{1}{a^{2}+b^{3}+c^{2}}=\frac{1}{b^{3}-b^{2}+3}$
Ta cm$\frac{1}{b^{3}-b^{2}+3}\leq \frac{1}{3}+\frac{b^{2}-1}{18}$ hay $(b-1)^{2}\left [ \frac{b(6-b^{2})+3-b^{2})}{18(b^{3}+3-b^{2})} \right ]$
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng vì $b>0$ và $b^{2}\leq 3$
TT rồi cộng theo vế được $ĐPCM$
Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Gửi bởi tuananh2000 trong 24-06-2015 - 10:53
Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 1$ và $x^{3}+y^{3}+z^{3}= 1$ .Tính B=$xyz$
Ta có $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ nên $0\leq x^{2}\leq 1$ hay $-1\leq x\leq 1$
Theo gt $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{3}+y^{3}+z^{3}= 1$ nên $\sum x^{2}(1-x)=0$
Mặt khác $x^{2}\geq 0$ và $1-x\geq 0$ với $-1\leq x\leq 1$ nên$\sum x^{2}(1-x)\geq 0$
Dấu bằng xảy ra khi có ít nhất một số bằng $0$ nên $B=0$
Gửi bởi tuananh2000 trong 24-06-2015 - 09:49
Bài 145(China TST): Cho a,b,c >0. CMR: nếu a+b+c=3
$\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\leq 1$
Ta xét $\frac{1}{a^{2}+b+c}=\frac{1}{a^{2}-a+3}$
Ta cm$\frac{1}{a^{2}-a+3}\leq \frac{1}{3}+\frac{a-1}{9}$ hay $\frac{(a-1)^{2}(a-3)}{a^{2}-a+3}\leq 0$ ( luôn đúng với $0\leq a\leq 3$)
TT với các hạng tử còn lại rồi cộng theo vế có $ĐPCM$
Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Gửi bởi tuananh2000 trong 24-06-2015 - 09:10
Bài 147 (Làm mạnh bài USAMO 2003). Cho ba số $a,\,b,\,c$ dương. Chứng minh rằng
\[\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \leqslant 9..\]
Chuẩn hóa $\sum a=3$
Ta có $\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{3a^{2}}{(\sum a)^{2}}=\frac{(a+3)^{2}}{3a^{2}-6a+9}+\frac{3a^{2}}{9}$
Ta cm $\frac{(a+3)^{2}}{3a^{2}-6a+9}+\frac{3a^{2}}{9}\leq 3+2(a-1)$ hay $(a-1)^{2}(a-6)a\leq 0$ ( luôn đúng với $0\leq a\leq 3$)
Cộng các vế với nhau ta đc $ĐPCM$
Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c>0$
Gửi bởi tuananh2000 trong 23-06-2015 - 08:01
Đặt $\sqrt[3]{2}=x$. $x$ là số vô tỉ
$c=x+x^2$
Giả sử $c$ là số hữu tỉ thì $x^2+x+1$ là số hữu tỉ
Do $x>1$, $x-1$ là số vô tỉ nên
$(x-1)(x^2+x+1)$ là số vô tỉ $\leftrightarrow x^3-1$ là số vô tỉ $\leftrightarrow 1$ là số vô tỉ (vô lí)
Vậy $c$ là số vô tỉ
Nếu bạn suy được $\sqrt[3]{2}$ là số vô tỉ thì bình phương của nó là số vô tỉ hoặc hữu tỉ . Khi đó $c$ chắc chắn là số vô tỉ rồi
Gửi bởi tuananh2000 trong 21-06-2015 - 18:23
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG BÌNH
Câu 1 ( 2,0 điểm ) Cho biểu thức
$$P=\left ( \frac{4\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{8x}{4-x} \right ):\left ( \frac{\sqrt{x}-4}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}} \right )$$
với $x>0,x\neq 1,x\neq 4$
a) Rút gọn P
b) Tìm$x$ để $P=-1$
Câu 2 ( 2,5 điểm )
a) Giải phương trình $x^2+x-4\sqrt{3x+1}+6=0$
b) Trong hệ toạ độ Oxy, cho Parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $(d):~y=2mx+2$ ( $m$ là tham số ). Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho $S_{OAB}=2\sqrt6$
Câu 3 ( 1,0 điểm )
Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca=11$. Tìm GTNN
$$P=\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12(a^2+11)}+\sqrt{12(b^2+11)}+\sqrt{c^2+11}}$$
Câu 4 ( 1,0 điểm ) Tìm số tự nhiên $n$ biết $n+S(n)=2015$
Câu 5 ( 3,5 điểm )
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), ba đường cao AD,BE,CF cắt nhau ở H và cắt (O) tại M,N,P
a) Chứng minh M đối xứng H qua BC
b) Chứng minh $(AHB)=(BHC)=(CHA)$
c) Tính $T=\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CP}{CF}$
Câu 2)
a) $Pt \Leftrightarrow (x-1)^{2}+(\sqrt{3x+1}-2)^{2}=0$ suy ra $x=1$
b)Ta có pt hoàng độ giao điểm của $d$ và $(P)$ như sau $x^{2}-2mx-2=0$
Xét $\Delta =m^{2}+2> 0$ nên pt luôn có $2$ nghiệm phân biệt
Theo $Viet$ có $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=2m & \\ x_{1}.x_{2}=-2 & \end{matrix}\right.$
Mà $AB^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})^{2}=\left [ (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}) \right ]\left [ 1+(x_{1}+x_{2})^{2} \right ]=(4m^{2}+8)(4m^{2}+1)$
Theo công thức tính độ dài một điểm tới đoạn thẳng thì
$h=d(O;(d))=\frac{\left | 0-0+2 \right |}{\sqrt{4m^{2}+1}}$
Mặt khác $AB^{2}=\frac{4S^{2}}{h^{2}}=24(4m^{2}+1)$
Hay $(4m^{2}+8)(4m^{2}+1)=24(4m^{2}+1)$
Dễ có $ m=-2$ hoặc $m=2$
Gửi bởi tuananh2000 trong 21-06-2015 - 11:02
1 Cho $m;n$ là các hằng số dương và $x;y;z$ là các số thực thay đổi sao cho $xy+yz+zx=1$.Tìm $GTNN$ của $P=x^{2}+my^{2}+nz^{2}$
2 Cho $a,b,c$ là các hằng số dương và $x,y,z$ là những số dương thay đổi sao cho $ax+by+cz=xyz$. Tìm $GTNN$ của $P=x+y+z$
Gửi bởi tuananh2000 trong 20-06-2015 - 14:50
Đề chuyên đây nhá mọi người
Câu 5
a) Đặt $x^{2}+3y=k^{2}$ và $y^{2}+3x=t^{2} (k;t\in Z)$
Lại có $x^{2}+3x>x^{2}+3y>x^{2}$ hay $(x+2)^{2}>k^{2}>x^{2}$ suy ra $k^{2}=(x+1)^{2}$
Hay $x^{2}+3y=x^{2}+2x+1 \Leftrightarrow x=\frac{3y-1}{2}$
Thay vào ta được $2y^{2}+9y-3=2t^{2}$
Suy ra $(x;y)=(1;1);(11;16);(16;11)$
b) Dễ thấy tổng trên là một số chẵn
Nếu xóa đi 2 số và viết đè lên là $(a+b)=(a-b)+2b$ hoặc $(a-b)=(a+b)-2b$ nghĩa là số mới viết lớn hoặc bé hơn tổng $2$ số vừa viết là $2b$ là một số chẵn
Cứ tiếp tục vậy cuối cùng sẽ được số chẵn mà $2017$ là số lẻ nên ...
Gửi bởi tuananh2000 trong 10-06-2015 - 20:15
Câu 6 a) Đặt $(a;c)=k$ thì $a=ka'$ và $c=kc'$ thay vào giả thiết $ab=cd$ có $a'b=dc'$ suy ra $b$ chia hết $c'$ và $d$ chia hết $a'$, đặt $b=c't$ và $d=a't$ thì có $A=...$ là hợp số
P/s: Latexx có vấn đề
Gửi bởi tuananh2000 trong 05-06-2015 - 21:28
Câu 1:a) Đặt $x^{2}-2x+1=a$ và $x^{2}+x+1=b$
Có $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{9}{(b-a)2}\rightarrow 2b^{2}-7ab-4a^{2}=0 \Leftrightarrow (2b+a)(b-4a)=0$
b) Pt tương đương $\sqrt{3x+1}-2-(\sqrt{x+3}-2)=x-1\Leftrightarrow \frac{3(x-1)}{\sqrt{3x+1}+2}-\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=x-1$
Suy ra $x=1$
Giải pt trong ngoặc ta tiếp tục đặt $\sqrt{3x+1}=a$ và $\sqrt{x+3}=b$
Thì $3a+6=(a+2)(b+3)$ hay $b(a+2)=0$
Gửi bởi tuananh2000 trong 04-06-2015 - 15:53
Bài hình có thể tham khảo lời giải của mình TẠI ĐÂY
Em thấy cách của thầy rất hay nhưng em xin đóng góp thêm 1 cách nữa để cm câu c)
Tg $AKNM$ và Tg $CNMB$ là các tgnt cho ta $PC.PB=PK.PA=PN.PM$ nên Tg $AKBM$ là tgnt suy ra $\widehat{BKC}=\widehat{BAC}=90^{o}$
Gửi bởi tuananh2000 trong 03-06-2015 - 21:19
Câu 1,2)
$x+y-2xy = 1 -y-x+xy <=> 2x + 2y - 3xy =1 => x+y = \frac{1+3xy}{2}$có $P = \frac{1+3xy}{2} + \sqrt{\frac{(1+3xy)^2}{4}-3xy} = \frac{1+3xy}{2} + \sqrt{\frac{(1-3xy)^2}{4}}$ => P = 1
Không đúng đâu bạn nhé, câu này phải xét 2 TH:
Mình đóng góp thêm cách giải câu 3
$\Leftrightarrow (a-b-1)^{2}=4b \Leftrightarrow a=(\sqrt{b}+1)^{2} \Leftrightarrow a-b-1=2\sqrt{b} \rightarrow b=k^{2} \rightarrow a=(k+1)^{2}$
Gửi bởi tuananh2000 trong 30-05-2015 - 10:37
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học