14) Cho tứ giác $ABCD$ có $AB=AD$ và $CB=CD$
1, Chứng minh rằng:
a, Tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp được một đường tròn
b, Tứ giác $ABCD$ nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi $AB$ và $BC$ vuông góc với nhau.
Do $AB=AD$ và $BC=BD$ nên $AC$ là trung trực của $BD$
Khi đó $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}$ và $CA$ là phân giác $\widehat{BCD}$
nên tia phân giác hai góc này trùng nhau và chình là $AC$
gọi giao điểm của tia phân giác góc $D$ và góc $B$ của tứ giác $ABCD$ với AC lần lượt là $H$ và $K$ thì
$\frac{AH}{HC} = \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{AK}{KC}$
từ đó suy ra bốn tia phân giác bốn góc của tứ giác $ABCD$ đồng quy tại một điểm nên tứ giác này ngoại tiếp
Ta thấy theo ý a ta cũng có $AC$ trung trực của $BD$ nên khi $AB \perp BC$ thì $IA \cdot IC = IB^2$
Mà ta dễ dang cm được $AD \perp DC$ và cũng có $IA \cdot IC = ID^2$
từ đó suy ra $IA \cdot IC =ID \cdot IB$ và tứ giác $ABCD nội tiếp
- Viet Hoang 99 yêu thích