Mikhail Leptchinski

Đặt $u=x^2+1$,$v=y$. Ta có:$PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{uv}+(u-1)v=u^2 \Leftrightarrow \sqrt{uv}-v=u^2-uv$

$\Leftrightarrow \frac{v(u-v)}{\sqrt{uv}+v}=u(u-v)\Leftrightarrow (u-v)(\frac{1}{\sqrt{\frac{u}{v}}+1}-u)=0\Leftrightarrow u=v$ (vì $u>1$)

Thế xuống PT (2) giải hệ

Bạn nên giải hết cả bài đi  thế mới hay,không nên giải như thế này vì chưa rõ nhiều bài đoạn xử lí phương trình như thế nào mà.Nhiều bài cho tưởng dễ nhưng không dễ đâu .Mong các bạn lần sau giải nên FULL lời giải + đáp số nhé mới được công nhận

Bài toán 24:  Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{(x^2+1)y}+x^2y=(x^2+1)^2 & & \\ \sqrt{y}=\frac{(x^2+1)^3}{6xy^2-32x^3} & & \end{matrix}\right.$

Em là thành viên mới của VMF (đăng ký thành viên được 3 ngày) nên nếu em đặt topic này ở đây là không phù hợp cũng mong các admin thông cảm và nhắc nhở em. Em có 1 điều cần sự đóng góp của các bạn nhưng thật sự em không biết nên đặt topic này ở đâu cho phù hợp nên mạo muội đặt ở box Bất Đẳng Thức và Cực Trị Toán THPT vì vấn đề của em là xoay quanh Bất Đẳng Thức. Mở bài dài dòng nhưng vấn đề của em rất đơn giản: 

Bất đẳng thức là một câu rất khó trong đề thi đại học.Nếu anh muốn được điểm cao trong đại học,em nghĩ việc đầu tiên nên làm là ôn kĩ nhưng câu cho điểm.Sau đó luyện dần những bài khó theo chuyên đề thầy cô giáo cho.Vì thi đại học nhiều người ra làm được hết nhưng mất điểm ở những câu được coi là cho điểm ở đại học cũng như thế, giả sử mình làm hết được 8 điểm mà người khác làm được 9 bài nhưng họ 8,75 thì ai bảo mình giỏi hơn họ.Đi thi hơn nhau ở chỗ này.Còn về cách học,ai cũng biết học phần nào cũng từ dễ đến khó.Đừng ham khi học những câu phương trình hệ phương trình,hình học phẳng Oxy,bất đẳng thức mà đòi học những cái khó.Nên mua sách từ cơ bản -> nâng cao anh ạ

Đấy là BĐT lớp 9 đi thi ĐH ko có chuyện cho kiểu chứng minh dễ như vậy đâu mà thường cho chứng minh BĐT dồn vế 1 biến rồi dùng đạo hàm đây là một ví dụ minh họa:
Nên quen BĐT dạng này thì mới mong được 10 ai rảnh thì vào làm thử không dễ đâu

Lời giải của bài

Đánh giá $(a-1)(b+1)(c+1)$ đầu tiên.Dự đoán dấu bằng xảy ra khi:$a=3;b=c=1$ nên áp dụng cô si ta có:

$(a-1)+(b+1)+(c+1)\geq 3.\sqrt[3]{(a-1)(b+1)(c+1)}<=>(a-1)(b+1)(c+1)\leq \frac{(a+b+c+1)^3}{27}$

Từ đó gợi lên ta ý tưởng đánh giá:$\sqrt{a^2+b^2+c^2-4a+5}\geq x.(a+b+c)+y$ đề dồn biến một ẩn theo $a+b+c$

Ta có:$\sqrt{a^2+b^2+c^2-4a+5}=\sqrt{(a-2)^2+b^2+c^2+1}\geq \sqrt{(\frac{a+b+c-1}{4})^2}=\frac{a+b+c-1}{2}$

Từ đó suy ra:$P\leq \frac{1}{a+b+c-1}-\frac{27}{(a+b+c+1)^3}$

Đặt $a+b+c+1=t$ ($t>3$)

Xét hàm:$f(t)=\frac{1}{t-2}-\frac{27}{t^3}$

Khảo sát hàm số rồi ...

Max $P=\frac{1}{8}$

Giải phương trình

 ​$\sqrt{5x^2+21x+16}-4\sqrt{2x+2}=\sqrt{x^2-2x-20}$

Giải phương trình: ​$\sqrt{5x^2+21x+16}-4\sqrt{2x+2}=\sqrt{x^2-2x-20}$

Lời giải:

Điều kiện:$\left\{\begin{matrix}5x^2+21x+16\geq 0 & & \\ x+1\geq 0 & & \\ x^2-2x-20\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

          <=>$x\geq \sqrt{21}+1$

Phương trình trở thành:$\sqrt{5x^2+21x+16}=4\sqrt{2x+2}+\sqrt{x^2-2x-20}$

                                <=>$5x^2+21x+16=16(2x+2)+x^2-2x-20+8\sqrt{(2x+2)(x^2-2x-20)}$

                                <=>$(5x^2-9x+4)^2=64(2x^3-4x^2-40x+2x^2-4x-40)$

                                <=>$25x^4-218x^3+249x^2+2744x+2576=0$

                                <=>$(5x^2-21,8x-30)^2+73,76x^2+1436x+1676=0$

Vì $x\geq \sqrt{21}+1$

Nên điểm mấu chốt phải để ý đến điều kiện để giải.Mong có cách khác hay hơn

Giai các phương trình sau

1,$(2x^2-7x+3)(2x^2+25x+75)=-224x^2$

2,$(2x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)=5(2x-1)^2$

3,$x^2+4x-4=24(1-\frac{1}{x})^2$

Lời giải hơi trâu nhưng em cứ làm vậy ai có ý tưởng hay và chuẩn hơn thì post lên mọi người tham khảo nhé:

1,$(2x^2-7x+3)(2x^2+25x+75)=-224x^2$

Lời giải:

Khai triển phương trình ta có:

Phương trình <=>$4x^4+36x^3+205x^2-450x+250=0$                $(1)$

 Phân tích:Nếu ta tách cái này về:

$x^2.(2x+9)^2+124x^2-450x+225=0$ thì rất khó xử lý cái ngoài $>0$ để phương trình vô nghiệm

Do đó :Ta nghĩ đến tách dạng:$(ax^2+bx+c)^2+gx^4+dx^2+ex+f=0$

Ta có: $(1)$ trở thành:$(\sqrt{2}x^2+9\sqrt{2}x-11)^2+2x^4+(43+22\sqrt{2})x^2-x(450-198\sqrt{2})+104=0$

Giờ ta xử lý:$(43+22\sqrt{2})x^2-x(450-198\sqrt{2})+104=0$ >0 vì $(\sqrt{2}x^2+9\sqrt{2}x-11)^2+2x^4>0$ mọi $x$

Bấm máy tính ta làm tròn số :$43+22\sqrt{2}=74,11->74$;$450-198\sqrt{2}=170$ 

Phương trình ta làm tròn là:$74x^2-170x+104=0$

                                     <=>$(\sqrt{74}x-\frac{85}{\sqrt{74}})^2+\frac{471}{74}=0$

Ta thấy:$(\sqrt{74}x-\frac{85}{\sqrt{74}})^2+\frac{471}{74}>0$ với mọi $x$

Do đó:Phương trình vô nghiệm

2,$(2x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)=5(2x-1)^2$

Lời giải:

Dùng máy tính $Casio$ nhẩm nghiệm ta thấy $x=1$ là nghiệm nên phân tích nhân tử

Phương trình

<=>$8x^4-4x^3-22x^2+24x-6=0$

<=>$2(x-1)^2.(4x^2+6x-3)=0$

Từ đó có:$x=1$ hoặc $4x^2+6x-3=0$

Giải phương trình kia có nghiệm:$x=\frac{-3-\sqrt{21}}{4};x=\frac{-3+\sqrt{21}}{4}$

3,$x^2+4x-4=24(1-\frac{1}{x})^2$

Lời giải:

Khai triển phương trình có:

      $x^4+4x^3-28x^2+28x-24=0$

<=>$\left [ x^2+2(1+\sqrt{7})x -2(1+\sqrt{7})\right ]\left [ x^2+2(1-\sqrt{7})+\frac{24}{2(1+\sqrt{7})} \right ]=0$

Với:$x^2+2(1+\sqrt{7})x-2(1+\sqrt{7})=0$ ta có

Phương trình có 2 nghiệm là

$x=-1-\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}};x=-1+\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}}$

Với:$x^2+2(1-\sqrt{7})+\frac{24}{2(1+\sqrt{7})}=0$ ta có

$\Delta '=(1-\sqrt{7})^2-\frac{24}{2(1+\sqrt{7})}=-0,5...<0$ nên phương trình vô nghiệm

Do đó:Phương trình có 2 nghiệm:$x=-1-\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}};x=-1+\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}}$