Mikhail Leptchinski

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{a^3}{b^2+8c^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^2+8a^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^2+8b^2}}\geq \sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}}$

Giải phương trình:$\sqrt{2x-1}=x.(3-\sqrt{3x-2}-\sqrt{3x+2})$

Đề thi thử trường THPT chuyên KHTN vòng 1 + vòng 2

Sáng nay hỏi mấy anh lớp 11-12 thấy họ làm có vẻ tốt 

Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ      KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH               Đề chính thức                                         NĂM 2014-2015

                                                                         Môn:Toán THCS

                                                                             Thời gian:150 phút

Câu 1(3,0 điểm):

a,Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$x^2+y^2-xy=x+y+2$

b,Chứng minh rằng với ba số tự nhiên $a,b,c$ trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có:

$(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(a+c-b)^3$ chia hết cho $96$

Câu 2(4,0 điểm):

a,Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:$\sqrt{1+(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2})^2}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$

b,Tính tổng $S=\sqrt{1+(1+\frac{1}{3})^2}+\sqrt{1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})^2}+...+\sqrt{1+(\frac{1}{2014}+\frac{1}{2016})^2}$

Câu 3(4,0 điểm):

a,Giải phương trình:$\sqrt{2x^2-x}=2x-x^2$

b,Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(x^2-1)y+(y^2-1)=2(xy-1) & & \\ 4x^2+y^2+2x-y-6=0 & & \end{matrix}\right.$

Câu 4(7,0 điểm):

Cho $BC$ là dây cung cố định trên đường tròn $(O)$,($BC$ không là đường kinh),$A$ là điểm di động trên cung lớn $BC$,($A$ không trùng $B$,$C$).Gọi $AD,BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$;$EF$ cắt $BC$ tại $P$.Qua điểm $D$ vẽ đường thẳng song song với $EF$ cắt $AC$ tại $Q$ và cắt $AB$ tại $R$

a,Chứng minh tứ giác $BQCR$ là tứ giác nội tiếp

b,Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$.Chứng minh rằng hai tam giác $EPM$ và $DEM$ là hai tam giác đồng dạng

c,Chứng minh đường tròn ngoại tiếp đi qua tam giác $PQR$ luôn đi qua điểm cố định

Câu 5(2,0 điểm):

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn:$x^2+y^2+z^2=3$.Chứng minh rằng:

$\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\geq xy+yz+xz$

P/S:Đề năm nay nhìn dễ chịu hơn đề năm ngoái.Đề năm ngoái cắn bút mới làm được tí mà năm nay hỏi mấy đứa em thi cùng năm ngoái bảo em làm được hết,đứa bảo em còn 1 phần  .Khóa nhọ quá.Mấy bác khác ở Phú Thọ năm ngoái cảm nhận thế nào ạ?