Namthemaster1234

Từ $(*)$ ta suy ra \begin{align*} {a_i}{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + {a_{i + 2}} = a_{i + 2}^2 &\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \left( {{a_{i + 1}}{a_{i + 2}} + 1} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \\ &\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {a_{i + 3}} = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} \end{align*} Từ đây ta suy ra $a_i=a_{i+3}$ với $1\leq i\leq n$. Do đó, $n$ chia hết cho $3$, thì thoả yêu cầu bài toán.\\ Ngoài ra, ta thấy $a_{3k+1}=a_{3k+2}=-1, a_{3k+3}=2$ là một bộ thoả yêu cầu bài toán $0\leq k\leq\dfrac{n}{3}$

 

Doan nay la vi sao ?

Lâu lâu chơi bài này cho vui

Ta có : . Đặt $a+bc =13^{x}\,\,\,\, b+ac=13^y$ 

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$

Ta có:

$$(b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1)$$

$$(b+a)(c+1)=13^{y}(13^{x-y}+1)$$

Vì $c-1$ và $c+1$ không thể cùng đồng thời chia hết 13 cho nên

TH1"

$b-a=13^y$ $ \Rightarrow a(c+1)=0$ (Không thể nào )

TH2:

$b+a=13^y$

Từ đây suy ra $c=1$ hay $(a+b)^2=13^n$

Vậy nên $2|n(Q.E.D)$

P/s: Bài này không quan trọng con số 13 cho lắm

 

Tach ra 2 TH sai roi kia

$\left\{\begin{matrix} a+bc=13^x & & \\ b+ac=13^y& & \end{matrix}\right.$

 

Neu $x=y$ thi ta co dpcm

 

Ta se chung minh $x=y$ trong moi truong hop: 

 

Gia su $x>y$ thi $b>a$:

 

$\Rightarrow 13^xa-a^2=13^y.b-b^2\Rightarrow (b-a)(b+a)=13^y(b-13^{x-y}a)$ $(1)$

 

Mat khac ta co: $\left\{\begin{matrix} (b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1) & & \\ (b+a)(c+1)=13^y(13^{x-y}+1) & & \end{matrix}\right.$

 

Neu  $a,b$ deu chia het cho 13. 

 

De cm $v_{13}(a)=v_{13}(b)=m$ khi do: $a=13^m.t$ va $b=13^m.s$ $((t,13)=(s,13)=1)$ suy ra: $\left\{\begin{matrix} t+sc=13^{n-m} & & \\ s+tc=13^{n-m} & & \end{matrix}\right.$

 

Khi do ta co bo moi la :$(t,s,n-m)$ va $13$ khong la uoc cua $t,s$

 

Do do khong mat tinh tong quat gia su $13$ khong la uoc cua $a,b$

 

Khi do trong 2 so $b-a$ va $b+a$ chi co mot so chia het cho 13 va trong 2 so $c-1$ va $c+1$ cung vay. Do do: $v_{13}(c-1)=y$ hoac $v_{13}(c+1)=y$

 

TH1: $v_{13}(c-1)=y$, i,e $c-1=13^y.s$ va $b+a=13^y.t$ suy ra $(b-a)s=13^{x-y}-1$. Theo $(1)$ suy ra: $(b-a)t=b-13^{x-y}a$. Do do:$ t.(13^{x-y}-1)=s(b-13{x-y}a)$

 

suy ra $t+bs=13^{x-y}(t+as)$. Vi $(t+bs)-(t+as)$ khong chia het cho $13$ nen $t+as=1$ khi do:$t=1,s=0$ suy ra: $c=1$ hay $x=y$ (mau thuan voi gia su)

 

TH2: $v_{13}(c+1)=y$,  i,e $c+1=13^y.k$ va $b-a=13^y.l$ suy ra $(b+a)k=13^{x-y}+1$. Theo $(1)$ suy ra: $(b+a)l=b-13^{x-y}a$. Do do: $l.(13^{x-y}+1)=k(b-13{x-y}a)$

 

suy ra $kb-l=13^{x-y}(l+ak)$. Vi $(kb-l)+(l+ak)$ khong chia het cho $13$ nen $l+ak=1$ khi do:$l=1,k=0$ suy ra: $c=-1$ (mau thuan voi gia thiet)

 

Vay trong moi TH ta co $x=y$ va co dpcm

 

 

 

Cho dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$ (n = 1, 2, ...) được xác định thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện

i) $x_{n}=1$ khi $\left [ (n+1)\sqrt{2015} -n\sqrt{2015}\right ]$ là một số lẻ

ii) $x_{n}=0$ khi $\left [ (n+1)\sqrt{2015} -n\sqrt{2015}\right ]$ là một số chẵn

Trong đó kí hiệu [x] là phần nguyên lớn nhất không vượt quá x

Tính tổng sau $S=x_{1975}+x_{1976}+...+x_{2015}$

 

hay là đề thế này

 

$\left [ (n+1)\sqrt{2015}\right ]-\left [ n\sqrt{2015}\right ]$

 Với mọi số nguyên tố $p > 3$ , đặt 

$S_n = 1^n + 2^n + 3^n + ... + (p-1)^n$

 Tìm tất cả giá trị của $p$ để 

$S_m \vdots p$, với mọi $m$ chẵn, $m \leq p - 3$

 

Kết quả tổng quát hơn là : với mọi $0<k<p-1$ thì $S_k$ đều chia hết cho $p$.

Chứng minh kết quả này dùng căn nguyên thủy