san1201

chọn ma trận đường chéo toàn số lẻ,phần tam giác trên toàn số chẵn thì
detA lẻ nên khâc 0

.

(nhắc lại bđt sylvester $ r(A)+r(B) \leq r(AB)+n $ (chứng minh bdt này vô cùng đơn giản
ta có
$r(A)+r(A-E)+r(A+E) \leq r(A(A-E))+n +r(A+E) \leq r(A(A-E)(A+E))+2n =2n $
do đó
$ \dim(Ker A)+\dim (Ker A-E) + \dim(Ker A+E) \geq n $
do đó n có đủ n vtr đltt ( tương úng với các gtr 0,1-1 ) nên chéo hoá đc

Tổng quát: Cho A là 1 ma trận vuông có n gtr đôi 1 phân biệt thì

mọi ma trận B thoả mãn AB=BA  <=> B biểu diễn đc dưới dạng 1 đa thức của A

A^TA đối xứng và xác định dương nên không nhận $-1/2$ làm trị riêng