san1201

Cho $A, B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ sao cho $A^{2017}=0, AB=BA, B \ne 0$.
Chứng minh rằng $rank(AB) \le rank(B)-1$

Giả sử rankBA=rank AB=rank B
nên dim Im BA=dim Im AB=dim Im B
nhưng do $ImBA \subset Im B$ nên ImBA=ImB
bằng qui nạp kết hợp AB=BA ta có
$ImA^{2017}B=ImB$
vô lí.nên ta có rank AB <r ank B

Lời giải câu hình

 

 

 

 

 

Bài 7 dài quá, có thể phân ra 2 ý như sau:

7.1/ Tìm tất cả các số $a$ thoả mãn đề bài.

Khai triển và thu gọn, ta có $p(2p+3)=q(q^2-q-1)$. Do $(q,q^2-q-1)=1$ và $p$ là số nguyên tố nên chỉ xảy ra $p|q$ hoặc $p|q^2-q-1$.

Nếu $p|q$ thì do $p$, $q$ là số nguyên tố nên $p=q$. Thay vào tính được $p=q=4$ hoặc $p=q=-1$, đều loại.

Nếu $p|q^2-q-1$ thì $q|2p+3$. Đặt $2p+3=kq(k\in\mathbb{N},k\geq 1)$, thay vào đẳng thức ban đầu, khai triển và thu gọn thì $2q^2-(2+k^2)q+3k-2=0$. Xem đây là phương trình bậc hai theo $q$, để có nghiệm nguyên thì cần có $\bigtriangleup$ là số chính phương. Tính được $\bigtriangleup =k^4+4k^2-24k+20$. Thử với $k$ từ $1$ đến $5$, ta chọn $k\in \left \{ 1,2,5 \right \}$. Thế vào tính lại, nhận $k=5$, $q=13$, $p=31$, $a=2015$. Với $k\geq 6$ thì $(k^2+2)^{2}>k^4+4k^2-24k+20>(k^2)^{2}$ nên $k^4+4k^2-24k+20=(k^2+1)^{2}$, Phương trình này không cho nghiệm nguyên nên loại. Vậy $a=2015$.

7.2/ Tìm tất cả các số $b,c,d$ thoả mãn đề bài.

Từ giả thiết, $3d!+1>2015$ nên suy ra $d\geq 2$ hay $2|d!$. Ta có đẳng thức $3d!+1-2015-2^{b}=3^c$. Vế trái là bội của 2 mà vế phải thì không, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại bộ 4 số nguyên dương thoả mãn đề bài.

Ý 7.1 thì $a=2016$ nhé.
Còn ý 7.2 thì chứng minh $b$ chia hết cho 6.
Xét $d>6$ với mod 7 thấy vô lý.
Xét d=6 thì tìm đc $b=6,c=4$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$.

Tìm max của $P=a+b+c$ 
Cách giải đại số nhé các bạn, lượng giác mình chưa học...

Câu 1:\begin{matrix}x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=5 \\(xy-1)^2=x^2-y^2+2 \end{matrix}

Câu 2:\begin{matrix}x^2+xy+y^2=3y-1 \\x^3+x^2y=x^2-x+1 \end{matrix}

Câu 3:\begin{matrix}x^2+3x^2y=\dfrac{8}{x} \\y^3-1=\dfrac{6}{x} \end{matrix}

Câu 4:\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y \\y(x+y)^2=2x^2+7y+2 \end{matrix}

Câu 5:\begin{matrix}x^2y^2+2y^2+16=11xy \\x^2+2y^2+12y=3xy^2 \end{matrix}

Câu 6:\begin{matrix}x\sqrt{y^2+6}+y\sqrt{x^2+3}=7xy \\x\sqrt{x^2+3}+y\sqrt{y^2+6}=x^2+y^2+2 \end{matrix}

Câu 7: \begin{matrix}2x+2x^2-2y^2=7 \\2(x^2+y^2)=5 \end{matrix}

Câu 8: \begin{matrix}x^4-2x=y^4-y \\(x^2-y^2)^3=3 \end{matrix}

Giúp mình với :3

1. Cho tam giác ABC, đường tròn (O) bàng tiếp góc A tiếp xúc AB tại N, đường kính NM của đường tròn (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK=BN. Chứng minh rằng K,C,M thẳng hàng.

 

     3       b) Cho a, b, c không âm và a + b + c = 1. Tìm GTNN, GTLN của $P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

 

 

$P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6(a+b+c)} = \sqrt {6}$

Vậy MAX P = $\sqrt{6}$