Love Math forever

Với cả cảm ơn bạn vì đã dịch được hộ mình nhé. Cho mình hỏi gõ công thức ở đâu đấy?

 

Gọi biểu thức cần xét là P

Ta chứng minh $\frac{1}{\sqrt{a^{5}-a^{2}+3ab+6}}\leq \frac{1}{\sqrt{3(ab+a+1)}}\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a^{3}+2a^{2}+3a+1)\geq 0$(luôn đúng)

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{\sqrt{3}}\sum \frac{1}{\sqrt{3(ab+a+1)}}\leq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sqrt{\sum \frac{1}{ab+a+1}}=1$($\sum \frac{1}{ab+a+1}=1$ với $abc=1$)

 

Bạn dựa vào bài toán quen thuộc à? Cách này hay. Cảm ơn bạn.

Ta có $\sqrt{x^{2}+16}-2\sqrt{x^{2}-3x+4}=\sqrt{x+1}-1$$(x>-1)$

$<=>\frac{x^2+16-4x^2+12x-16}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}=\frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}+1}$

$<=>x(\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1})$

$<=>x=0$hoặc $\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$

Ta có $\frac{12-3x}{\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$

$<=>12\sqrt{x+1}+12-3x\sqrt{x+1}-3x=\sqrt{x^2+16}+2\sqrt{x^2-3x+4}$$(\sqrt{x^2+16}-5)+(2\sqrt{x^2-3x+4}-4)+(3x\sqrt{x+1}-18)+(3x-9)+(24-12\sqrt{x+1})=0$

$<=>(x-3)[\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}]=0$

<=>$x=3$ hoặc $\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}=0$

Xét$\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2}+\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}+\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}=0$

Ta có $\frac{2x}{\sqrt{x^2-3x+4}+2} >2$;$\frac{9(x^2-4x+12)}{\sqrt{x^3+x^2}+6}>4$;$\frac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}>0$;$-\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}>-6$

$=>$ Vô nghiệm

Vậy $x=0;x=3$

Không nhân liên hợp biểu thức được hả bạn?

Bạn cuongdan lấy bài này ở đâu thế?

Sử dụng AM-GM ta có $(xy+yz+zx)^2 \geqslant 3xyz(x+y+z)\Rightarrow xyz\leqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}$

$\Rightarrow P=8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{xyz}\geqslant 8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{\frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}}=8(x+y+z)+\frac{15(x+y+z)}{xy+yz+zx}$

Đặt $t=x+y+z\leqslant 3\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{t^2-3}{2}$

$\Rightarrow P\geqslant 8t+\frac{30}{t^2-3}=f(t)$

Khảo sát hàm số với $0<t \leqslant 3$

Còn cahs khác không sử dụng đạo hàm không? Chẳng hạn chọn điểm rơi.