Love Math forever

Đây là bài toán quen thuộc mà: Chứng minh y(y+1)(y+2)(y+3)+1 là số chính phương. Sau đó lập luận hai số chính phương liên tiếp chỉ có thể là 0 và 1. Thế là xong!

Cho $x,y,z$ là ba số dương thỏa mãn $x+y+z=\sqrt{2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $T=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z})$

Bài 1: Cho $x\geq 2,x\epsilon \mathbb{R}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 

$A=\frac{2x^{2}+6\sqrt{(x^{2}+2)(x-2)}+1}{x^{2}+3x-5}$

Bài 2: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=3& & \\ y^{2}+yz+z^{2}=16& & \end{matrix}\right.$ .

Chứng minh rằng: $xy+yz+zx\leq 8$ .

Bài 3: Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức: 

$P=\frac{x^{2}y}{z^{3}}+\frac{y^{2}z}{x^{3}}+\frac{z^{2}x}{y^{3}}+\frac{4xyz}{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}$ .

Cho $x,y,z\epsilon(0;1)$. Chứng minh rằng: $\sqrt{xyz}+\sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)}<1$

Giải phương trình: $x^{2}+x+12\sqrt{x+1}=36$

$$x^{2}+x+12\sqrt{x+1}=36$$

$\Leftrightarrow x^{2}+2x+1=x+1+12\sqrt{x+1}36$

$\Leftrightarrow \left ( x+1 \right )^{2}=(\sqrt{x+1}-6)^{2}$

     Đến đây xét 2 trường hợp là xong.

Giải phương trình $x+\sqrt{x^{2}-3x+9}=\sqrt{x^{2}+2x+10}+1$

Giả sử phương trình: $x^{2}+ax+b=0$ có 2 nghiệm lớn hơn 1. Chứng minh:

$\frac{a^{2}-a-2b}{b-a+1}\geq \frac{2\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}}$

ĐỀ + ĐÁP ÁN CHI TIẾT:

  ĐÁP ÁN CÂU I.1 + II + III + IV + V.2:

Làm câu bđt cái:

         Đặt  $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$ . Sau đó sẽ đưa được về đồng bậc và giải quyết ngon lành.

Câu 2: 

1. Đặt $a=6+\sqrt{7}$ và $b=6-\sqrt{7}$

$\Rightarrow a+b=12; ab=29$ $\Rightarrow a,b$ là 2 nghiệm của phương trình:

$t^{2}-12t+29=0$

Với $t=x^{n}\Rightarrow$ ĐPCM.

2.  Đặt $a=6+\sqrt{7}$ và $b=6-\sqrt{7}$

$\Rightarrow a+b=12; ab=29$

Từ đây ta nâng bậc sẽ được ĐPCM.

Câu 3:

1. Từ GT $x_{1}+1=x_{3};x_{2}+1=x_{4}\Rightarrow x_{1}+1 +x_{2}+1=b^{2} ; (x_{1}+1)(x_{2}+1)=bc$

Rồi dùng Vi-et cho phương trình 1 là ra.

2. Đặt A = (p-1)(p+1).

Vì p lẻ $\Rightarrow$ p = 2k+1 $\Rightarrow$ A = 4k(k+1) $\Rightarrow A\vdots 8$

Lại có: p chia 3 dư 1 hoặc 2 nên $A\vdots 3$

Vậy ĐPCM.

Câu 3:

1. Từ GT $x_{1}+1=x_{3};x_{2}+1=x_{4}\Rightarrow x_{1}+1 +x_{2}+1=b^{2} ; (x_{1}+1)(x_{2}+1)=bc$

Rồi dùng Vi-et cho phương trình 1 là ra.

2. Đặt A = (p-1)(p+1).

Vì p lẻ $\Rightarrow$ p = 2k+1 $\Rightarrow$ A = 4k(k+1) $\Rightarrow A\vdots 8$

Lại có: p chia 3 dư 1 hoặc 2 nên $A\vdots 3$

Vậy ĐPCM.

Câu II.1: 

Đặt $A = 4x^{^{2}}y^{^{2}} - 7x+7y$.

Ta có: $A - (2xy-1)^{2}= (4xy+7y) - (7x+1) = y(4x+7)-(7x+1)\geq 2(4x+7)-(7x+1)> 0  \Rightarrow A>(2xy-1)^{2}$

Tương tự ta cũng chứng minh được: $A< (2xy+1)^{2}$

$\Rightarrow A = (2xy)^{2}\Rightarrow x=y$

Câu II.1: 

Đặt $A = 4x^{^{2}}y^{^{2}} - 7x+7y$.

Ta có: $A - (2xy-1)^{2}= (4xy+7y) - (7x+1) = y(4x+7)-(7x+1)\geq 2(4x+7)-(7x+1)> 0  \Rightarrow A>(2xy-1)^{2}$

Tương tự ta cũng chứng minh được: $A< (2xy+1)^{2}$

$\Rightarrow A = (2xy)^{2}\Rightarrow x=y$