vua thac mac

Ta có $a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\geq \sum a^{2}b^{3}c=abc(\sum ab^{2})=abc(\sum ab^{2}+\sum \frac{1}{9a})- \frac{1}{9} \sum bc\geq \frac{2}{3}abc(\sum a)-\frac{1}{9}$.

Suy ra BĐT cần chứng minh thành $\frac{4}{9}\geq \frac{4}{3}\prod a.\sum a\Leftrightarrow 3abc(a+b+c)\leq 1$.

Từ (gt) ta có $\sum (ab)^{2}+2abc(a+b+c)=1$

     mà $\sum (ab)^{2}\geq abc(a+b+c)\Rightarrow 3abc(a+b+c)\leq 1$.

Phép chứng minh hoàn tất...

Các bạn like ủng hộ mình nha...

Bạn ơi cho mình hỏi chỗ này bạn làm sao ra được bđt đó vậy ạ!

Bài này mình xin post lời giải.Không biết có đúng hay không mong mọi người xem hộ.Hơi dài với trâu vì em làm bằng kiến thức THCS

 

Vì $a,b>0$ nên $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

$<=>2(a^2+b^2)+ab=(a+b)ab+2(a+b)$

$<=>2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+1=a+b+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng bất đẳng thức cô si có

$(a+b)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{2(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}$

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t(t> 0)$

Ta có 

$2t+1\geq 2\sqrt{2(t+2)}$

$<=>(2t+1)^2\geq 8(t+2)$

$<=>4t^2-4t\geq 15$

$<=>(2t-1)^2\geq 16$

hay $t\geq \frac{5}{2}(t> 0)$

Khi đó:$P=4\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^3-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \right ]-9\left [ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2 \right ]=4(t^3-3t)-9(t^2-2)=4t^3-9t^2-12t+18=(4t^3-20t^2+25t)+(11t^2-55t+\frac{275}{4})+(18t-45)-\frac{23}{4}=t(2t-5)^2+11(t-\frac{5}{2})^2+9(2t-5)-\frac{23}{4}\geq -\frac{23}{4}$

Dấu bằng xảy ra $t=\frac{5}{2}<=>\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5}{2} & & \\ (a+b)=2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) & & \end{matrix}\right.$

$<=>(a,b)\in \left \{ (1;2),(2;1) \right \}$

Vậy min $P=-\frac{23}{4}$

 

Bài toán điểm mấu chốt là đặt ẩn và đưa về bất đẳng thức đoạn đánh giá.Đây là một bài thi Đại học khối B năm 2011,em làm kiến thức THCS mong anh chị xem hộ em nhé.Cảm ơn ạ!

Mình nói không biết đúng hay sai nhưng mình thấy chỗ này hơi vô lý thì phải...

Ý tưởng của bạn là chia cả hai vế cho $ab$, nên chỗ đó thành là $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Mình nói sai thì sr vậy...

  mình xin cảm ơn sự giúp đỡ của mọi người về Topic, mời mọi người cùng thử sức với BT tiếp theo.

$3/$

Cho a,b,c $\geqslant 0$; a+ b+ c= 1.Tìm GTLN của $\sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a}.$