Đến nội dung

gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

Đăng ký: 31-05-2014
Offline Đăng nhập: 27-05-2018 - 14:29
-----

#678074 Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix...

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 20-04-2017 - 06:01

facile!

lấy (1)-2x(2) ta có

(x-2y)^2-3(x-2y)+2=0

suy ra x-2y bằng 1 hoặc 2 

Thay ngược vào pt 2 ta giải pt 1 ẩn bậc 2




#606471 ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC 2015 - 2016

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 01-01-2016 - 16:00

Mà hình như câu số giải bằng pp sơ cấp hơi thốn:(câu này có lẽ là của thầy Nam???)

Chiều đảo:

Nếu $n= 2^{m}$ ta chứng minh f(n)=2n-1

* c/m $\sum_{1}^{2n-1}k$ là bội của n

Rõ ràng vì $\sum_{1}^{2n-1}k=n(2n-1)$ là bội của n

*c/m 2n-1 là số nhỏ nhất

Với r<2n-1 tức là $r\leq 2n-2$ ta có

$\sum_{1}^{r}k=\frac{r(r+1)}{2}$

Hai số r và r+1 có 1 số lẻ, số còn lại không vượt quá $2n-1=2^{m+1}-1$ nên dễ thấy

$\sum_{1}^{r}k$ không là bội của n=2^m

Chiều thuận

Giả sử n không là lũy thừa của 2 ta c/m f(n)<2n-1

Thật vậy $n=2^{m}a$ với a lẻ, a>1

Ta cần chỉ ra $1\leq r< 2n-1$ thỏa

$2^{m+1}/r$ và $a/r+1$

Lúc đó

$\sum_{1}^{r}k=\frac{r(r+1)}{2}$ sẽ chia hết cho n

----> Xét hệ thẳng dư:(1)

$x\equiv 0(mod 2^{m+1}),x\equiv -1(moda)$

Vì $(2^{m+1},a)=1$ nên có nghiệm x0 cho hệ (1) xác định duy nhất theo modulo $2^{m+1}a=2n$

Tức là ta tìm được $0< r\leq 2n$ thỏa (1)

Vì nghiệm này thỏa (1) nên thỏa đkbt

Ta cần c/m r<2n-1

*Từ đồng dư thức thứ 2 của (1) ta có:

$r\equiv -1(moda)\Rightarrow a/r+1$

Nếu r=2n thì a/2n+1

Vì $2^{m}a=n$ nên a/n$\rightarrow a/2n$

suy ra a/1 (vô lí vì a>1)

Vậy r<2n

*Từ đồng dư thức thứ 1 của (1) ta có:

$2^{m+1}/r$ nên nếu r=2n-1 thì $2^{m+1}$ là ước số của $2n-1=2^{m+1}a-1\Rightarrow 2^{m+1}/1$(vô lý)

Vậy r<2n-1

$\Rightarrow f(n)<2n-1$




#517740 $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac...

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 05-08-2014 - 10:57

 

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

>:)

 




#517495 $\boxed{\text{TOPIC}}$ Biến đổi biểu...

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 03-08-2014 - 21:58

câu 5:

$\sum \frac{1}{a}=0\Rightarrow \sum ab=0$

Do đó:

$A=\frac{\sum a^{3}b^{3}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=3$




#517483 Chứng minh $3a+b$ chia hết cho 7.

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 03-08-2014 - 21:33

Ta có:

$7/49a^{2}+21ab+7b^{2}\Rightarrow 7/6(3a+b)^{2}-(5a^{2}+15ab-b^{2})\Rightarrow 7/6(3a+b)^{2}$

Mà (6;7)=1 và 7 là số nguyên tố nên $7/(3a+b)^{2}\Rightarrow 7/3a+b$(dpcm) >:)




#517132 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x...

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 02-08-2014 - 15:55

hình như đề phải thêm đk  a>0

sau đó ta lấy VP trừ VT quy đồng có;

$(a^{2}+b^{2})xy-(x^{2}+y^{2})ab=(bx-ay)(by-ax)$

Măt khác theo gt có:

$bx-ay\geq ba-ab=0$

tương tự ta cũng có $by-ax\geq 0$

suy ra $(a^{2}+b^{2})xy\geq (x^{2}+y^{2})ab$

ta có dpcm >:)




#516015 $(x^2+1)^2\geqslant 5-x\sqrt{2x^2+4}$

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 28-07-2014 - 15:10

bn nói rõ được k?....nhưng phải chia cho cái j tiếp r đặt ẩn?...việc tìm ẩn số cần phải chia như nào?

cái này thì ta đặt như sau:

$t=x\sqrt{2(x^{2}+2)}$

Như vậy ta có phương trình trùng phương theo t




#515954 $(x^2+1)^2\geqslant 5-x\sqrt{2x^2+4}$

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 28-07-2014 - 10:14

cái pt trên chuyển thành:

$(x^{2}+2)x^{2}+x\sqrt{2(x^{2}+2)}-4=0$

Đặt ẩn phụ sau đó giải các bpt trùng phương




#515313 $(a^3+b)(b^3+a)=2^c$

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 25-07-2014 - 11:38

ta có;

    $(a^{3}+b)-(a+b^{3})=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}-1)$

suy ra $a\geq b\Leftrightarrow (a^{3}+b)\geq (a+b^{3})$

Do $(a^{3}+b)(b^{3}+a)=2^{c}$ nên $a^{3}+b=2^{m};b^{3}+a=2^{n}(m\geq n;m+n=c)$

giả sử m>=n

Từ gt ta có:

  $b\equiv -a^{3}(mod 2^{m})\Rightarrow b\equiv -a^{3}(mod 2^{n})\Rightarrow b^{3}\equiv -a^{9}(mod 2^{n})\Rightarrow a\equiv a^{9}(mod 2^{n})$

$\Rightarrow a=2^{k}$$\rightarrow a^{8}-1 \neq 2^{r}$

suy ra k=0 hay a=1 suy ra b=1;c=2




#514801 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 23-07-2014 - 11:59

Đặt a=x-1;b=y-1;c=z-1 bài toán trở thành:

    Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 Tìm Min A:

            $A=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}$

Ta có:

       $A=1+\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{1}{ab}+\frac{1}{abc}\geq 1+\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{ab+bc+ca}+\frac{1}{\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}\geq 1+\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{\frac{(a+b+c)2}{3}}+\frac{27}{(a+b+c)^{3}}=64$

      Vậy MinA=64 đạt khi a=b=c=1/3 hay x=y=z=4/3




#514795 Có bao nhiêu phần tử thuộc X là bội của ít nhất một phần tử của $T=...

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 23-07-2014 - 11:24

X có 1005 phần tử chia hết cho 2 (tập A)

         670 phần tử chia hết cho 3 (B)

         402 phần tử chia hết cho 5 ( C)

         287 phần tử chia hết cho 7 (D)

ta có:

       $\left | A\cap B \right |=335;\left | C\cap D \right |=57;\left | A\cap C \right |=201;\left | A\cap D\right |=143;\left | C\cap B \right |=134;\left | D\cap B \right |=45;\left | A\cap B \cap C\right |=67;\left | A\cap B \cap D\right |=47;\left | A\cap D \cap C\right |=28;\left | D\cap B \cap C\right |=19;\left | A\cap B \cap C\cap D\right |=9;$

Lúc đó:

     $\left | A\cup B \cup C\cup D\right |=(1005+670+402+287)-(335+57+201+143+134+45)+(67+47+28+19)-9=1601;$

Vậy có 1601 phần tử của X thoả mãn




#514538 $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1...

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 22-07-2014 - 10:32

Không mất tính tổng quát g/s: $a\geq b\geq c>0$

Lúc đó ta có $ab\geq ca\geq bc\Rightarrow ab\geq 1$

với $ab\geq 1$ ta có bdt(cái này nhân lên phân tích thành nhân tử):

      $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

Như vậy ta cần c/m:

       $\frac{2}{1+ab}+\frac{1}{1+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Thật vậy:

 Nhân lên chuyển vế có:

     $ab(3c^{2}+1)\leq (c^{2}+3)$ (xét khoảng gt )

Vậy ta có dpcm




#511199 $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+\sqrt{7x+2}...

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 06-07-2014 - 15:57

Biến đổi liên hợp:

$(\sqrt{3x+1}-2)+(\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}-2)=0\Leftrightarrow \frac{3x-3}{\sqrt{3x+1}+2}+\frac{x-1}{\sqrt{x+\sqrt{7x+2}}+2}+\frac{7x-7}{(\sqrt{7x+2}+3)(\sqrt{x+\sqrt{7x+2}})}=0\Leftrightarrow (x-1)A=0,(A>0)$

Thử lại KL x=1




#511192 $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5...

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 06-07-2014 - 15:48

bí quá thì cộng 13 sô hạng đầu tiên tính ra kq là đc :icon6:




#510938 $\frac{\sqrt{2}\left ( \sin x -\cos x \rig...

Gửi bởi gatoanhoc1998 trong 05-07-2014 - 14:27

DKXD:$x\neq k\Pi /4$ $(k\in \mathbb{Z})$

Pt trên tương đương với:

$\frac{\sqrt{2}(sinx-cox)^{2}(1+sin2x)}{2sin4xcosx}+\frac{sinx-cosx}{cosx}=0\Leftrightarrow \frac{sinx-cosx}{cosx}(\frac{\sqrt{2}(sinx-cosx)(1+2sin2x)}{2sin4x}+1)=0$

TH1:

$sinx=cosx\Leftrightarrow x=\Pi /4+k2\Pi (k\in \mathbb{Z})$

TH2:

$(sinx-cosx)(1+4sinxcosx)+2\sqrt{2}sinxcosx(cosx-sinx)(sinx+cosx)=0\Leftrightarrow (sinx-cosx)(1+4sinxcosx-2\sqrt{2}sinxcosx(sinx+cosx))=0\Leftrightarrow 1+4sinxcosx-2\sqrt{2}sinxcosx(sinx+cosx)=0$

Đặt sinx+cosx=t $(-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2})$ pt trở thành:

$\sqrt{2}t^{3}-2t^{2}-\sqrt{2}t+1=0$

Giải t suy ra x

so sánh dk và kết luận nghiệm