vietleorg

cho $x> 0; y> 0;z> 0$ thỏa mãn $x^{2013} + y^{2013}+z^{2013}= 3$ 

tìm Max của $M= x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Áp dụng Cauchy ta có $x^{2013}+x^{2013}+1+..+1 \geq 2013x^2$ (2011 số 1)
$\Leftrightarrow 2x^{2013}+2011 \geq 2013x^2$
Tương tự với y và z cộng lại suy ra max của M=3 khi $x=y=z=1$

Bài 1: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình $x^{2}-x-1=0$. Không giải phương trình, chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$ với $P(x)=3x-\sqrt{33x+25}$  

Vì $x_1$ là nghiệm của pt $X^2-x-1=0$ nên $x_1^2-1=x_1$
Suy ra $\sqrt{33x_1+25}=\sqrt{9x_1+24x_1+25}=\sqrt{9x_1^2+24x+16}=|3x_1+4|$
Tương tự suy ra ta cần c/m đẳng thức sau: $3x_1-|3x_1+4|=3x_2-|3x_2+4|$
Mặt khác thẹ Vi-et suy ra $x_1$ và $x_2$ trái dấu ta g/s $x_1 \geq 0 \geq x_2$
=> vt=-4
nếu $\frac{-4}{3} \leq x_2 \leq 0$ thì vt=vp=-4
nếu $x \leq \frac{-4}{3}$ thì theo viet $x_1+x_2=1 \Rightarrow x_1 \geq \frac{7}{3}$
Như vậy $|x_1|>1;|x_2|>1$ suy ra $|x_1x_2| \neq 1$ trái gt x_1x_2=-1
Vậy ta có dpcm

Chỗ này cần xét $c=1$ và $c\neq 1$.

Nếu c=1 thì $\left\{\begin{matrix}x_2^2+x_2+a=0\\x_2^2+x_2+b=0\end{matrix}\right.$
Suy ra a=b trái giả thiết.

Giả sử $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a\neq b$ sao cho 2 phương trình : $x^2+ax+1=0$ , $x^2+bx+c=0$ có nghiệm chung và 2 phương trình : $x^2+x+a=0$ , $x^2+cx+b=0$ có nghiệm chung. Tính $a+b+c$

Đây là 1 câu trong đề v1 sp năm ngoái mà.
Giải như sau: Gọi $x_1;x_2$ lần lượt là nghiệm chung của từng cặp pt đó
Do $a \neq b$. Tính dc $x_1=\dfrac{c-1}{a-b};x_2=\dfrac{a-b}{c-1} \Rightarrow x_1x_2=1$
Theo Viet đảo suy ra $x_2$ là nghiệm của pt (1)
Suy ra $\left\{\begin{matrix}x_2^2+ax_2 +1=0\\x_2^2+x_2+a=0\end{matrix}\right. \Rightarrow (a-1)(x_2-1)=0$
Nếu a=1 thay vào 1 vô nghiệm (loại)
Nếu $x_2=1$ thay vào tìm dc a+b+c=-3
 

Bài số học có thể làm như sau.

Xét $x=2,3$ thay vào và giải phương trình nghiệm nguyên ta tìm được $y$.

Xét $y=2,3$ thay vào và giải phương trình nghiệm nguyên ta tìm được $x$.

Ta chỉ xét $x,y>3$. 

Trường hợp $x\geq y$ thì kẹp :

$$(2xy-1)^2\leq 4x^2y^2-7x+7y\leq (2xy)^2$$

Trường hợp $x\leq y$ thì kẹp :

$$(2xy)^2\leq 4x^2y^2-7x+7y\leq (2xy+1)^2$$

Sao lại phải xét riêng th x=2,3 vậy. Tớ chỉ sử dụng dk $x \geq 2$ là đã c/m kẹp dc r mà