binh9adt

Câu 1: Giải phương trình: $$\frac{cos2x+\sqrt{3}sin2x-2\sqrt{3}cosx+4sinx-3}{\sqrt{sinx}}=0$$.

Câu 2:

           a) Một trường học có 25 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ trong đó có đúng hai cặp vợ chồng. nhà trường chon ngẫu nhiên 5 người trong số 40 giáo viên trên đi công tác. Tính xác suất sao cho trong 5 người được chọn có đúng một cặp vợ chồng.

           b) Tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow -\infty }(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2})$

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $N$ là điểm thuộc cạnh $CD$ thỏa mãn hai mặt phẳng $(SAM),(SMN)$ vuông góc với nhau. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM,SN$.

           a) Chứng minh tứ giác $MNKH$ nội tiếp được trong một đường tròn và $AM$ vuông góc với $MN$.

           b) Tính diện tích tam giác $AHK$ theo $a$.

Câu 4: 

           a) Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $cos^{2}B+ cos^{2}C\leq sin^{2}A$

           Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $F=\sqrt{2}sin^{4}\frac{A}{2}+\sqrt{2}cos^{2}\frac{A}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+cos^{2}\frac{C}{2}$

           b) Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=2 \\ \frac{u_{n+1}}{2}=\frac{u_{1}}{1}+\frac{u_{2}}{3}+\frac{u_{3}}{5}+...+\frac{u_{n}}{2n-1} \end{cases}$

           Với mỗi $n\in N^{*}$, đặt $S_{n}=\frac{u{_{1}}^{2}+u{_{2}}^{2}+u{_{3}}^{2}+...+u{_{n}}^{2}}{n^{3}}$. Tính $limS_{n}$.

Câu 5: Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2=x^{2}y^{2}z^{2}$.

           Chứng minh rằng $xyz(x+y+z)\geq 2(xy+yz+zx)$.

Giải phương trình lượng giác:

$$5sin^3x=sin^33x+2sinx$$

Cách 2:

$5sin^{3}x=sin^{3}3x+2sinx$

$\Leftrightarrow sin^{3}x-sin^{3}3x+sinx-(3sinx-4sin^{3}x)=0$
$\Leftrightarrow sin^{3}x-sin^{3}3x+sinx-sin3x=0$

$\Leftrightarrow (sinx-sin3x)(sin^{2}x+sinxsin3x+sin^{2}3x+1)=0$

$\Leftrightarrow sinx-sin3x=0$

$\Leftrightarrow -sinxcos2x=0$( Do $(sin^{2}x+sinxsin3x+sin^{2}3x+1) > 0$ với mọi  $x\in R$)

Theo mình thì tư duy là biết phân tích bài toán, tìm ra cái đặc biệt, mấu chốt trong đó hay vận dụng các bài toán đã học để giải quyết một bài toán khác.

Mình giới thiệu với các bạn một số định lý của Đào Thanh Oai đã được công bố

 

PROOF OF DAO’S GENERALIZATION OF GOORMAGHTIGH’S THEOREM.pdf

 

Two Pairs of Archimedean Circles in the Arbelos.pdf

 

Generalization Lester circle theorem.pdf

 

Đào Thanh Oai, Problem 3845, Eight circles problem : https://cms.math.ca/crux/v39/n5/

 

Eight circles problem.png

Có bản tiếng Việt không vậy?

Xét $x\neq 1$, nhân hai vế của khai triển với $(x-1)^{11}$ ta có:

$(x^{11}-1)^{11}=(x-1)^{11}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{110}x^{110})$

$VT = \sum_{k=0}^{11}C_{11}^{k}x^{11k}(-1)^{11-k}$ => Hệ số của $x^{11}$ trong vế trái bằng $C_{11}^{1}=11$

$VP = (\sum_{k=0}^{11}C_{11}^{k}x^{11-k}(-1)^{k})(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{110}x^{110})$

Hệ số của $x^{11}$ trong vế phải bằng $C_{11}^{0}a_{0}-C_{11}^{1}a_{1}+C_{11}^{2}a_{2}-C_{11}^{3}a_{3}+C_{11}^{4}a_{4}+...+C_{11}^{10}a_{10}-C_{11}^{11}a_{11}$

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

Mình ko hiểu chỗ đỏ chứ ko phải đoạn trên.

$\frac{b}{c}=\frac{a+2014b}{b+2014c}$

mà theo đề bài ta có: $\frac{a}{c}=(\frac{a+2014b}{b+2014c})^{n}$

Từ đây => $\frac{a}{c}=(\frac{b}{c})^{n}$

#dễ hiểu mà bạn

Giải phương trình:

a) $\frac{2\sqrt{3}sin2x(1+cos2x)-4cos2x.sin^2x-3}{2sin2x-1}=0$

Đáp án đã có tại đây.

Ba số dương mà tổng là 63 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân hoặc là số hạng thứ nhất, thứ 7 và thứ 31 trong 1 cấp số cộng. Tìm 3 số đó.

Không biết đúng hay sai nhưng mình đành liều vậy.

Từ giả thiết ta có hệ:

$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=63 \\ x_{1}.x_{3}=x_{2}^{2} \\ x_{2}=x_{1}+6d \\ x_{3}=x_{1}+30d \end{cases}$

Từ phương trình thứ 3 => $d=\frac{x_{2}-x_{1}}{6}$ thế vào phương trình thứ 4, rút gọn ta được:

$x_{3}=5x_{2}-4x_{1}$

Thế vào 2 phương trình đầu ta được: 

$\begin{cases}2x_{2}-x_{1}=21 \\ x_{1}.(5x_{2}-4x_{1})=x_{2}^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_{1}=2x_{2}-21 \\ (2x_{2}-21).(5x_{2}-4(2x_{2}-21))=x_{2}^{2} \end{cases}$

Từ đây tìm được x1, x2=>x3

 

Một trong 5 anh em An, Bảo, Tuấn, Đức, Khôi làm vỡ kính cửa sổ

 

An nói: "Chỉ có thể là Bảo hoặc Tuấn"

 

Bảo nói : "tôi không làm và cả khôi cũng thế

 

Tuấn nói: "Cả hai đều nói sai"

 

Đức nói: "Không Tuấn ạ, một đứa đúng, một đứa sai"

 

Khôi nói: "Đức nói sai"

 

Hỏi ai làm vỡ kính

 

Với điều kiện 2 trong 5 anh em nói sai ta có:

+ Nếu An và Bảo nói sai => Đức nói sai ( loại ).

+ Nếu An nói sai, Bảo nói đúng => Tuấn nói sai, Đức nói đúng => Khôi nói sai (loại )

=> An và Bảo nói đúng, Tuấn và Đức nói sai, Khôi nói đúng.

Từ đó ta có thể biết Tuấn là người làm vỡ kính.

$3(2x^2-x\sqrt{x^2+3}=2(1-x^4)$

Gõ lại $\LaTeX$ đi bạn.

$3(2x^{2}-x\sqrt{x^{2}+3})=2(1-x^{4})$

$\Leftrightarrow 6x^{2}-3x\sqrt{x^{2}+3}-2+2x^{4}=0$

$\Leftrightarrow 2x^{2}(x^{2}+3)-3x\sqrt{x^{2}+3}-2=0$

Đến đay bạn đặt $x\sqrt{x^{2}+3}=t$ rồi giải phương trình bậc 2 ẩn $t$ là được nha.

Giải HPT sau:

$\begin{cases} & x(y+z)= 3 \\ & y(z+x)= 36 \\ & z(z+x)= 12 \end{cases}$ 

HPT $\Leftrightarrow \begin{cases}y+z=\frac{3}{x} \\ (y+z).(z+x)=48 \\ x+z=\frac{12}{z} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y+z=\frac{3}{x} \\ \frac{3}{x}.\frac{12}{z}=48 \\ x+z=\frac{12}{z} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y+z=\frac{3}{x} \\xz=\frac{3}{4} \\ zx+z^{2}=12 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y+z=\frac{3}{x} \\xz=\frac{3}{4} \\ z^{2}=\frac{45}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{1}{2\sqrt{5}} \\ y=\frac{9\sqrt{5}}{2} \\ z=\frac{3\sqrt{5}}{2} \end{cases}$

Hoặc $\begin{cases}x=\frac{-1}{2\sqrt{5}} \\ y=\frac{-9\sqrt{5}}{2} \\ z=\frac{-3\sqrt{5}}{2} \end{cases}$

Bạn xem thử đã đứng chưa nha.

Giải PT sau

$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+3}=0$

PT $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+2}+(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+3})=0$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+2}+\frac{(x+1)+(x+3)}{\sqrt[3]{(x+2)^{1}}-\sqrt[3]{x+1}.\sqrt[3]{x+3}+\sqrt[3]{(x+2)^{3}}}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+2}.(1+\frac{2.\sqrt[3]{(x+2)^{2}}}{\sqrt[3]{(x+2)^{1}}-\sqrt[3]{x+1}.\sqrt[3]{x+3}+\sqrt[3]{(x+2)^{3}}})=0$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+2}=0$ Hoặc $1+\frac{2.\sqrt[3]{(x+2)^{2}}}{\sqrt[3]{(x+2)^{1}}-\sqrt[3]{x+1}.\sqrt[3]{x+3}+\sqrt[3]{(x+2)^{3}}}=0$

$\Leftrightarrow x=-2$

$\left\{\begin{matrix} x-3y=\frac{4y}{x}\\ y-3x=\frac{4x}{y} \end{matrix}\right.$

 

Hệ phương trình bậc hai nên phải trừ hai về của hai phương trình để đặt nhân tử chung.

Nếu quy đồng rồi trừ thì được:

$\left ( x-y \right )\left ( x+y+4 \right )=0$ (1)

Nhưng nếu không quy đồng mà trừ luôn rồi quy đồng sau lại được:

$4\left ( x-y \right )\left ( xy+x+y \right )=0$ (2)

Mình ban đầu làm theo (2) thì không làm được nữa. Nhưng làm theo (1) lại được. Mình không biết đã sai ở đâu.
 

$4\left ( x-y \right )\left ( xy+x+y \right )=0$

$\Leftrightarrow x+y=-xy$

Cộng hai vế của hệ ta được:

$\frac{2(x^{2}+y^{2})}{xy}=-(x+y)$

thế $-(x+y)=xy$ ta được:

$\frac{2(x^{2}+y^{2})}{xy}=xy$

$\Leftrightarrow 2(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})=0$

Phương trình vô nghiệm.

Tìm các số nguyên a,b để phương trình x²+ax+b=0 có 2 nghiệm x₁,x₂ thỏa mãn -2<x₁<-1 và 1<x₂<2

Phương trình có 2 nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geqslant 0$

Khi đó theo vi-ét ta có:$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-a \\ x_{1}. x_{2}= b\end{cases}$

$\Leftrightarrow a^{2}-4b\geqslant 0$     (*)

Phương trình có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$  thỏa mãn  $-2<x_{1}<-1$ và $1<x_{2}<2$ 

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_{1}.x_{2}< 0 \\ x_{1}+x_{2}< 1 \\ x_{1}+x_{2}> -1\\ (x_{1}+2)(x_{2}-1)> 0\\ (x_{1}+1)(x_{2}-2)> 0 \end{cases}$

Thay $x_{1}+x_{2}=-a$ và $x_{1}. x_{2}= b$, giải hệ tìm được điều kiện của a,b.

Giải hệ PT

$x^{2}=y^{3}-4y^{2}+8y$
$y^{2}=x^{3}-4x^{2}+8x$

Trừ vế theo vế, rút gọn ta được: