huuhieuht

CMR tồn  tại vô hạn $n$ sao cho $d(n^2+1)\leq d((n+1)^2+1)$ (với $d(n)$ là số ước dương của n)

Tìm tất cả giá trị nguyên $n$ để phương trình $(x+y+z)^{2}=nxyz$ có nghiệm nguyên dương

Là chân 3 đường cao,cm bằng tích vô hướng

Bổ đề 1: Nếu $ax+b=0$  với x là số vô tỷ thì a=b=0

Bổ đề 2 :Xét pt $x^{3}=x+1$ có nghiện thì nghiệm đó là nghiêm vô tỷ

Bổ đề 3 Nếu $m\alpha ^{2}+n\alpha +k =0$ với m,n,k là  số hữu tỉ thì $m=n=k=0$

 Sử dụng ba bổ đề trên ta dễ dàng giải quyết bài toán  và tìm được duy nhất bộ (0,0, $x , x^{2}$ )

$M=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-2015\sqrt{xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})-2015\sqrt{xy}=x+y-2016\sqrt{xy} =(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}-2018\sqrt{xy}\geq 1-2018/4.(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}=1-2018/4$  (theo bĐT cô-si) Dấu bằng xảy khi x=y

 Lại có $M=1-2018\sqrt{xy}\leq 1$  dấu bằng xảy ra khi x=0,y=1 và hoán vị

Tìm tất cả các bộ số nguyên $(a,b,c)$ sao cho $a^{2}+4b,b^{2}+4c,c^{2}+4a$ đều là số chính phương

b,Bổ đề: nếu AB+AC=2BC thì IO là đường trung trực của AM (đây là bài toán quen thuộc ,có nhiều trong sách vở) 

 Gọi K là giao điểm của IO với BC. Dễ thấy $\widehat{KIB}=90^{\circ}-\widehat{BIM}=90-\frac{180-\widehat{BMI}}{2}=\frac{\widehat{BCA}}{2}=\widehat{ICB}$ $\Rightarrow KI^{2}=KB.KC$ Gọi T là giao điểm của KA với đường tròn O thì $KT.KA=KC.KB=KI^{2}$ kết hợp với $\widehat{AIK}=90^{\circ}$ suy ra

$\widehat{ATI}=90^{\circ}$  $\Rightarrow T\equiv E \Rightarrow K\equiv F$ . Gọi S là trung điểm AP  thì IS là đường trung bình của tam giác AMP suy ra F,I,O,S thằng hàng. Gọi L là trung điểm AF thì $\widehat{AIL}=\widehat{IAL}=\widehat{IDM}=\widehat{IQM}=\widehat{MIP}$ suy ra L,I,P thẳng hàng .Do đó I là trọng tâm của tam giác AFP.

  p/s: câu a có thể giải bằng kiến thức THCS nhưng hơi dài

Đặt $x=\frac{a}{b};y= \frac{b}{c};z= \frac{c}{a}$  ; 

$P$ trở thành : $\sqrt{\frac{b}{a+b}}+\sqrt{\frac{c}{b+c}}+\sqrt{\frac{a}{c+a}}$ 

Áp dụng bđt AM-GM ta có :

  $\sum \sqrt{\frac{b}{a+b}}=\sum \sqrt{\frac{(a+c)}{a+b+c}.\frac{b(a+b+c)}{(a+c)(a+b)}}= \sum \sqrt{\frac{8}{9}.\frac{9(a+c)}{8(a+c+b)}.\frac{b(a+b+c)}{(a+c)(a+b)}}\leq \frac{\sqrt{2}}{3}.( \frac{9}{4}.(\frac{a+b+c}{a+b+c})+\frac{2(ab+bc+ca)(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)})\leq \frac{\sqrt{2}}{3}.(\frac{9}{4}+\frac{9}{4})=\frac{3}{\sqrt{2}}$

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$

Bài 15 : Một bạn cờ quốc tế $8\times 8$  . Hỏi rằng quân mã có thể đi nước đầu tiên từ ô dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải không ? Với điều kiện nó phải đi qua tất cả các ô trên bàn cờ và mỗi ô chỉ đi qua đúng một lầ

Sau mỗi lần đi ,mạ sẽ di chuyển sang ô khác màu với ô trước> Từ ô bạn nói  sau 63 lần(số lẻ) nên mạ sẽ đến ô khác màu với ô đầu tiên ,mặt khác 2 ô bạ nói cùng màu .Suy ra vô lý 

BÌNH LUẬN BÀI CUỐI TOÁN CHUYÊN KHTN
Lời giải: 
(1) Trong 2015 điểm thuộc S có nhiều nhất 2014 điểm thẳng hàng. Khi đó số đường thẳng phân biệt được tạo thành đi qua 2 điểm thuộc S là ít nhất.(xét trường hợp còn lại thì quá rõ để cm lớn hơn rùi hay đó là điều hiển nhiên)
(2) Từ 1 điểm khác 2014 điểm thẳng hàng luôn kẻ được 2014 đường thẳng phân biệt.
Từ (1) và (2) ta có ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt được tạo thành đi qua ít nhất 2 điểm thuộc S.

Bài 5 mình sưu tầm được cách khác cũng khá hay:

   Biến đổi Q ta được: $Q=(a+\frac{c}{2})^{2}+(b+\frac{d}{2})^{2}+\frac{3}{4}(c^{2}+d^{2})$

   Áp dụng BĐT Bunhia ta có: $((a+\frac{c}{2})^{2}+(b+\frac{d}{2})^{2})(d^{2}+(-c)^{2})\geq ((a+\frac{c}{2}).d+(b+\frac{d}{2})(-c))^{2}\geq (ad-bc)^{2}=1$ $\Rightarrow (a+\frac{c}{2})^{2}+(b+\frac{d}{2})^{2}\geq \frac{1}{c^{2}+d^{2}}$

 Do đó $Q=\frac{1}{c^{2}+d^{2}}+\frac{3}{4}(c^{2}+d^{2})\geq 2\sqrt{\frac{1}{c^{2}+d^{2}}.\frac{3}{4}(c^{2}+d^{2})}=\sqrt{3}$ (Theo BĐT cô-si)

 Suy ra ĐPCM

Bạn thử rút gọn cái chứ đã ra schur bậc 3 đâu

Câu b(tự vẽ) Từ hệ thức suy ra tỉ lệ DC/DB=EC/EB Điều này đúng do AI ,AD lần lượt là tia phân giác góc trong và góc ngoài của tam giác ACB

Câu c nếu góc tù thì cot bằng mấy nhỉ