hiensau999

Tính tổng:

 

$$A=\frac{1.4}{2.3}+\frac{2.5}{3.4}+...+\frac{(n-1).(n+2)}{n.(n+1)}+...+\frac{2007.2010}{2008.2009}.$$

 

 

___

 

Chú ý cách đặt tiêu đề và cách viết một đề toán cho đẹp em nhé!

Xét $\frac{(n-1).(n+2)}{n.(n+1)} = \frac{n^2+n-2}{n.(n+1)} = 1- \frac{2}{n.(n+1)}$

$A=2007 - 2(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2008.2009} )\\= 2007 - 2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2008}-\frac{1}{2009} ) \\= 2007 - 2(\frac{1}{2}-\frac{1}{2009} )$

Cho tứ giác lồi ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AC và BD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BDC, I là trung điểm MN. Chứng minh A, G, I thẳng hàng.

Kéo dài AI cắt NC ở G'

Gọi Q là trung điểm G'C => QM là đường trung bình $\Delta AG'C \Rightarrow MQ//IG'$

$\Delta MNQ$ có $MQ//IG'$ mà I là trung điểm MN $\Rightarrow$ G' là trung điểm NQ $\Rightarrow NG'=G'Q$

$\Rightarrow NG'=G'Q=QC \Rightarrow \frac{CG'}{CN}=\frac{2}{3} \Rightarrow G' $ là trọng tâm $\Delta DCB$

$\Rightarrow$ đpcm

Cho $\bigtriangleup ABC$ : BC=a; AC=b; AB=c. Chứng minh $\sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{b+c}$.

Gọi phân giác góc A là AD

Kẻ $CH \perp AD$

Tính chất đường phân giác: $\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB}=\frac{DC+DB}{AC+AB}=\frac{a}{b+c}$

Ta có $\sin \frac{A}{2} = \frac{CH}{AC} \leq \frac{DC}{AC}=\frac{a}{b+c} $

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow H \equiv D \Leftrightarrow \Delta ABC$ cân ở A

 

cho đường tròn O, điểm M nằm ngoài đường tròn, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là tiếp điểm), AB cắt OM tại H, gọi I là trung điểm HM, AI cắt đường tròn O tại K 

cm HK vuông góc AI

 

Lấy Q đối xứng với A qua I -> Hình bình hành MQHA
$\Delta QMA \approx \Delta AKB $ (gg)
$\Rightarrow \frac{MA}{KB}=\frac{AQ}{AB}= \frac{2AI}{2HB}=\frac{AI}{HB}$

$\Rightarrow \Delta MAI \approx \Delta KBH$ (cgc)
$\Rightarrow \widehat{MIA} = \widehat{KHB}$
$\Rightarrow \widehat{HIA} = \widehat{KHA}$
mà dễ dàng cm $AB \perp MO \Rightarrow \widehat{KHA}+\widehat{KHI}=90^o = \widehat{HIA}+\widehat{KHI}$
$\Rightarrow \widehat{IKH}=90^o $
$\Rightarrow HK\perp  AI$

CIII.2 Có vẻ hơi linh tinh

3. Dự đoán: Thuộc đường thẳng // MN cách MN 1 khoảng ko đổi