I Love MC

Cho a,b>0. Chứng minh: $$\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le3(a+b+c)$$

Cho $a,b \in Z$ thỏa mãn : $5a^2+15ab-b^2$ chia hết cho 49. Chứng minh $3a+b$ chia hết cho 7.

Cho $abc=1;a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$. Chứng minh trong ba số a,b,c có ít nhất một số bằng 1

1) Tìm $x;y \in Z$ thỏa mãn $x^2+x-y^2=0$ 
2) Tìm $x,y \in N*$ thỏa mãn $3^x+1=(y+1)^2$

Costa Rica 2006. 
Cho $a,b,c$ là ba cạnh của 1 tam giác . Chứng minh : 
$\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{(a^2+b^2+c^2)^2}+\frac{bc+ac+ab}{a^2+b^2+c^2} \ge 2$

Cho $a,b,c>0$ và $k \in N^*$. Chứng minh :
$\sum \frac{a^k}{b+c} \ge \frac{3}{2}$

4. Cmr $A=2^{2^{2n}}+5 \equiv 7$ với mọi n là số tự nhiên

Ta xét mod : 
$2^{2^{2n}}=2^{4^n}$ 
Nhận thấy $5 \equiv 5$ (mod 7) nên bây giờ ta cần chứng minh $2^{4^n} \equiv 2$ (mod 7)
Hay $2^{4^n}-2=2.(2^{4^n-1}-1)$ chia hết cho 7. 
Có $4^n-1$ chia hết cho 3 . 
Nên đặt $4^n-1=k.3$ khi đó $2^{4^n-1}=8^k-1$ chia hết cho 7 Suy ra đpcm.

Ta có $(100^{99}+99^{99})^{100}>(100^{99}+99^{99})^{99}.100^{99}=(100^{100}+100.99^{99})^{99}>(100^{100}+99^{100})^{99}$ 
Vậy $A>B$

Chứng minh $5^{100}+5^{75}+5^{50}+5^{25}+1$ là hợp số. 

$VT=1+5+5^2+...+5^{1997}$ 
$VT.5-VT=5^{1008}-1$ 
$\rightarrow VT=\frac{5^{2008}-1}{4}$

3) $VT=(c-b+a)(c^2+bc-ac+b^2+ab+a^2)$
b) $VT=(x^2-4x+1)(x^2-2x+3)$

Có $(a+b+c).(\sum \frac{a}{(b+c)^2}) \ge (\sum \frac{a}{b+c})^2$ 
Theo bất đẳng thức Nesbitt $\sum \frac{a}{b+c} \ge \frac{3}{2}$ 
$\rightarrow VT.(a+b+c) \ge \frac{9}{4}$