I Love MC

Dự đoán điểm rơi xảy ra khi $a=b=c=1$ 
$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \ge \frac{3a}{4}$ 
Tương tự suy ra $VT \ge \frac{2(a+b+c)-3}{4} \ge \frac{2.3.\sqrt{abc}-3}{4}=0,75$

Tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ có thể là một số hữu tỉ không? Tổng có hai số vô tỉ có thể là một số hữu tỉ được không ?

Đây hình như là câu 5 IMO 2006 không biết đúng không nữa   

Câu này anh làm trên hocmai rồi nhỉ up lên cho mọi người xem.

Tham khảo tại https://www.facebook...ntrung/?fref=ts ở  bài của Hiếu A Master.

VT chỉ có thể là 
$VT \equiv 7 \euiv 2$ (mod 5) và $VT \equiv 4$ (mod 5) và $VP \equiv 0$ (mod 5) nên không có $x,y$ thỏa mãn.

$P=\frac{1}{1+c}+\frac{ab+abc-c-1}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{1}{1+c}+\left [ \frac{ab-1}{(1+a)(1+b)}+1 \right ]-1=\frac{1}{1+c}-1+\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{c}{1+c}$

Thật vậy, ta có $P\geq \frac{5}{12}\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{4}-\frac{c}{1+c} \right )+\left ( \frac{b}{1+b}-\frac{2}{3} \right )+(\frac{a}{1+a}-\frac{1}{2})\geq 0\Leftrightarrow \frac{3-c}{4(1+c)}+\frac{b-2}{3(b+1)}+\frac{a-1}{2(a+1)}\geq 0$

Áp dụng phép nhóm Abel, ta có BĐT tương đương với $(3-c)(\frac{1}{4(c+1)}-\frac{1}{3(b+1)})+\left [ (3-c)+(b-2) \right ]\left [ \frac{1}{3(b+1)}-\frac{1}{2(a+1)} \right ]+\left [ (3-c)+(b-2)+(a+1) \right ]\frac{1}{2(a+1)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(3-c)(3b-4c+1)}{12(b+1)(c+1)}+\frac{(b+1-c)(2a-3b-1)}{6(a+1)(b+1)}+\frac{a+b-c}{2(a+1)}\geq 0$

http://idoc.vn/tai-l...-toan-lop9.html trước tiên phải ôn kiến thức cho vững rồi làm nâng cao.

Cách c/m bđt mà bạn nói trên 
Quy nạp 
Mệnh đề đúng với r=0 
Giả sử mệnh đề đúng với $r=k$ tức là $(1+x)^k \ge 1+r.k$
Cần c/m $(1+x)^{k+1} \ge 1+r(k+1)$  
Thậy vậy $VT \ge (1+x)(1+kx)=1+kx+x+x^2k=1+(x+1)k+kx^2 \ge 1+(k+1)x$

1 số bài khó 
177) Cho $a_1,a_2,..,a_n>0$ với $n \ge 2$. C/m 
$(a_1^3+1)(a_2^2+1)...(a_n^3+1) \ge (a_1^2a_2+1)....(a_n^2a_1+1)$ ( Cuộc thi Czech-Slovanikia-Balan 2002) 
178) Cho $x,y,z>1$ sao cho $\sum \frac{1}{x}=2$. C/m 
$\sqrt{x+z+y} \ge \sum \sqrt{x-1}$ ( Iran 1998) 
179) C/m với $a,b,c>0$ thì : 
$\sum \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2} \ge \frac{3}{5}$ ( Nhật Bản 1997)

ĐK: $x<4$ 
$VT=\frac{x^3+\sqrt{4-x}x^2-4.\sqrt{4-x}=0$ 
<--> $x^3+\sqrt{4-x}x^2=4.\sqrt{4-x}$ rồi đến đây giải pt

Câu 2 phải là cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=1$ 
C/m $\sum \frac{a^3}{(1+b)(c+1)} \ge \frac{3}{4}$ 
Nếu như vậy thì $\frac{a^3}{(1+b)(c+1)}+\frac{1+b}{8}+\frac{c+1}{8} \ge \frac{3a}{4}$ theo Cauchy. 
Tương tự suy ra $VT \ge $\frac{2(a+b+c)-3}{4} \ge \frac{6-3}{4}=VP$ 
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
 

Mình chế được cái bày này ( không biết đụng hàng ai chưa ) 
Cho $\sqrt{\frac{x}{y+z}}=a$ $\sqrt{\frac{y}{x+z}}=b$ $\sqrt{\frac{z}{x+y}}=c$ với $x,y,z>0$ 
C/m $a.b+bc+ac>2,5$

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{ab+1}=\frac{1}{a+1}+\frac{c}{1+c} \ge \frac{4}{a+2+ab}$ tương tự suy ra điều phải c/m