Tìm kiếm
Nam
Nếu môt trong hai số $x,y$ bằng $1$ thì số kia cũng là $1$. Bây giờ ta chỉ xét $x\geq 2, y\geq 2$
Ta viết $x=p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố khác nhau và $n_i$ là các số nguyên dương.
Từ phương trình đã cho ta dễ dàng suy ra được rằng $y$ cũng được phân tích giống như $x$, nghĩa là $y=p_1^{m_1}...p_k^{m_k}$, trong đó $m_i$ là các số nguyên dương. Từ phương trình đã cho ta cũng suy ra được (vì các số $p_i$ là nguyên tố)
$$\frac{n_1}{m_1}=\cdots =\frac{n_k}{m_k}=\frac{x}{y^2}.$$
Bên cạnh đó ta cũng có $x>y$. Vì nếu không thì ta sẽ có $x^y\leq y$ (điều này là không thể, tại sao?). Từ đó ta suy ra được $n_i>m_i, \forall i$ và do đó $n_i > 2m_i, \forall i$.
Gọi $p$ là số nguyên tố lớn nhất trong các số $p_i$. Ta xét các trường hợp sau:
-TH1: $p\geq 5$. Ta tìm được $n>m\geq 1$ là các số nguyên dương trong những số $n_i,m_i$ sao cho
$$\frac{n}{m}\geq p^{n-2m}.$$
Bằng quy nạp ta chứng minh được $n>p^i m, \forall i$ và điều này cũng không thể xảy ra được.
-TH2: $p=3$. Tương tự như trên ta tìm được $n>m\geq 1$ sao cho
$$\frac{n}{m}\geq 3^{n-2m}.$$
Nếu đặt $x=\frac{n}{m}$ ta có $3^{x-2}\leq x$. Do đó $x$ không thể lớn hơn $3$. Nhưng $\frac{n}{m} \geq 3^{n-2m}\geq 3$. Vậy ta có $n=3m$ và $n-2m=1$, tức là $n=3,m=1$. Từ những đánh giá trên ta suy ra trong phân tích của $x,y$ không có số nguyên tố nào khác ngoài số $3$. Vậy ta có thêm một nghiệm nữa là $x=27, y=3$.
-TH3: $p=2$. Làm tương tự như trên ta tìm được nghiệm $x=16, y=2$.
Kết luận: $x=y=1$, $(x=27, y=3)$, $(x=16, y=2)$ là 3 nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.
thấy có nhiều ng thích thì chắc đúng 
,cái chỗ khó nhất bài thì k chứng minh,mà chỉ ns do đó?mọi người cho t hỏi chút
tại sao có ni > mi với mọi i thì lại ra ni>2mi với mọi i ???
