Đến nội dung

Aries Intelligent

Aries Intelligent

Đăng ký: 13-06-2014
Offline Đăng nhập: 06-08-2014 - 20:17
-----

Trong chủ đề: Topic các bài về số nguyên tố

30-07-2014 - 07:25

Em xin giải :
Đặt $p = a + b = c - d$ với $p, a, b, c, d \in \mathbb{P}$ và $a \geq b ; c > d$.
Ta có :
Do $p$ là tổng của $2$ số nguyên tố nên $p > 2$ $\Rightarrow p$ lẻ.
Do $p$ lẻ nên trong hai số $c ; d$ sẽ có một số là $2$, mà $c > d$ nên $d = 2$.
Do $p$ lẻ nên trong hai số $c ; d$ sẽ xảy ra hai trường hợp :
$TH1 : a = b = 2$, loại vì khi đó $p = 4 \Rightarrow p \notin \mathbb{P}$.
$TH2 : a > b \Rightarrow b = 2$, chọn.
Vậy $p = a + 2 = c - 2$ $\leftrightarrow a + 2 = p$ $;$ $p + 2 = d$ hay $a, p, d$ là ba số nguyên tố lẻ liên tiếp.
Mà chỉ có $3$ số $3, 5, 7$ là phù hợp.
$\Rightarrow \left ( a ; p ; d \right ) = \left ( 3 ; 5 ; 7 \right )$
Vậy, $\boxed{p = 5}$.

Dòng đỏ hơi kì : Nếu a = b = 2 thì làm sao p lẻ được ? 
Với lại xuống duới sao bạn lại kết luận d = 7 trong khi phía trên lại ghi d = 2 ?


Trong chủ đề: cm $x^2-y^2$ chia hết cho 48 với x,y,z nguyên dương thỏa mãn...

17-07-2014 - 08:26

Lời giải. Đầu tiên ta sẽ chứng minh $x^2-y^2$ chia hết cho $3$ bằng việc áp dụng tính chất $a^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ với $a \in \mathbb{Z}$.

Thật vậy, nếu cả hai số $x^2$ và $y^2$ có cùng số dư khi chia cho $3$ thì $x^2-y^2$ chia hết cho $3$.
Nếu hai số có khác số dư khi chia cho $3$. Không mất tính tổng quát, giả sử $x \equiv 0 \pmod{3}, \; y \equiv 1 \pmod{3}$ thì $x^2+y^2 \equiv 1 \pmod{3}$ mà $2z^2 \equiv 0,2 \pmod{3}$, mâu thuẫn.
Vậy hai số $x^2,y^2$ không thể khác số dư khi chia cho $3$.
Do đó ta luôn có $3|x^2-y^2$.

Ta chứng minh $x^2-y^2$ chia hết cho $16$ bằng việc áp dụng tính chất $a^2 \equiv 0,1,4,9 \pmod{16}$ với $a \in \mathbb{Z}$.
Dễ nhận thấy $x,y$ có cùng tính chẵn lẻ.

Nếu $x,y$ đều lẻ. Với $x^2,y^2$ có cùng số dư khi chia cho $16$ thì hiển nhiên ta có đpcm.
Với $x^2,y^2$ khác số dư khi chia cho $16$, mà $x,y$ lẻ nên không mất tính tổng quát, giả sử $x^2 \equiv 1 \pmod{16}, \; y^2 \equiv 9 \pmod{16}$ thì $x^2+y^2 \equiv 10 \pmod{16}$, mà $2z^2 \equiv 0,2,8 \pmod{16}$, mâu thuẫn.
Vậy với $x,y$ lẻ thì $16|x^2-y^2$.


Nếu $x,y$ đều chẵn. Đặt $x=2x_1,y=2y_1$ với $x_1,y_1 \in \mathbb{Z}$. Khi đó $$x^2+y^2=2z^2 \Leftrightarrow 2 \left( x_1^2+y_1^2 \right) =z^2 \qquad (1)$$
Ta suy ra $z$ chẵn, đặt $z=2z_1$ thì $$(1) \Leftrightarrow x_1^2+y_1^2=2z_1^2 \qquad (2)$$
Lí luận tương tự trên:
Với $x_1,y_1$ đều lẻ ta suy ra $x_1^2-y_1^2$ chia hết cho $16$.
Với $x_1,y_1$ cùng chẵn thì $x_1=2x_2, \; y_1=2y_2$. Khi đó $x=2x_1=4x_2, \; y=2y_1=4y_2$ nên $x^2-y^2=16(x_2^2-y_2^2)$ chia hết cho $16$.

Trong mọi trường hợp, ta luôn có $16|x^2-y^2$.

Kết luận. Vậy $48|x^2-y^2$.

Khoan khoan : Dòng đỏ : nói là mâu thuẫn nhưng sao lại kết luận là với mọi x,y lẻ ?


Trong chủ đề: Tìm 3 chữ số tận cùng của $2^{9^{2013}}$

10-07-2014 - 08:03

Ta có nhận xét sau :

$2^{100k}\equiv 376(mod1000)$

Mà : $9^{10}\equiv 1(mod100)$

$\Rightarrow 9^{2013}\equiv (9^{10})^{201}.9^{3}\equiv 29(mod100)\Rightarrow 9^{2013}=100n+29$

$\Rightarrow 2^{9^{2013}}\equiv 2^{100n+29}\equiv 2^{100n}.2^{29}\equiv 912(mod1000)$

Vậy 3 chữ số tận cùng là 912 

 

Bài bác có lộn không nhỉ !?

 

Ta có nhận xét sau :

$2^{100k}\equiv 376(mod1000)$

Mà : $9^{10}\equiv 1(mod100)$

$\Rightarrow 9^{2013}\equiv (9^{10})^{201}.9^{3}\equiv 29(mod100)\Rightarrow 9^{2013}=100n+29$

$\Rightarrow 2^{9^{2013}}\equiv 2^{100n+29}\equiv 2^{100n}.2^{29}\equiv 912(mod1000)$

Vậy 3 chữ số tận cùng là 912 

 

Bài bác có lộn không nhỉ !?

Cho em hỏi là nhận xét dòng đầu có mũ k , xuống nhận xét dòng màu đỏ có mũ n . Mình dc dùng như vậy ạ ?


Trong chủ đề: Tìm 3 chữ số tận cùng của: A=$1993^{1994^{1995^{...^...

10-07-2014 - 07:53

Ta có $1995^{k}\equiv 5(mod20)$

do đó $1994^{1995^{...}}\equiv 1994^{5}(mod100)\equiv 24(mod 100)$

$1993^{1994^{1995^{...}}}\equiv 1993^{24}(mod 1000)$$\equiv 401(mod 1000)$

Đâu có tính chất như vậy đâu bạn  :mellow:


Trong chủ đề: Topic: Các bài toán về tính chia hết

07-07-2014 - 15:37

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 333...33 ( 100 chữ số 3 )
- Bài này em dùng phương pháp quy nạp nhưng đến bước 3 thì không biết làm nữa. Các anh chị chỉ em với .