iamnhl

CM luôn tồn tại một  số gồm các chữ số 1 và 2 có $2^{2011}$ chữ số chia hết cho $2^{2011}$

Chứng minh : luôn tồn tại số gồm các chữ số 1 và 2 có $2^{k}$ chữ số chia hết cho $2^{k+1}$ với mọi k thuộc N theo qui nạp

+,k=0,1,2 thì chọn số 2 và 12 và 2112

+ Giả sử giả thiết qui nạp đúng đến k hay tồn tại số gồm các chữ số 1 và 2 có $2^{k}$ chữ số chia hết cho $2^{k+1}$ gọi số đó là a

Ta sẽ đi chứng minh tồn tại số gồm các chữ số 1 và 2 có $2^{k+1}$ chữ số chia hết cho $2^{k+2}$

Xét a

a chia hết cho $2^{k+2}$ thì chọn số b = 11...112 . $10^{k+1}$ +a khi đó số b thoả mãn 

a không chia hết cho  $2^{k+2}$ thì chọn số b = 22...221 . $10^{k+1}$ +a khi đó số b thoả mãn 

Vậy ta có đpcm

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $2$. CMR $\frac{1}{2}.C_{2p}^{p}-1\vdots p^2$

 Đề bài tương đương với $\frac{(2p-1)(2p-2)...(2p-p+1)-(p-1)!}{(p-1)!}$ chia hết cho $p^{2}$ 

Ta tổng quát bài toán : $\frac{(mp-1)(mp-2)...(mp-p+1)-(p-1)!}{(p-1)!}$ chia hết cho $p^{3}$

Ta phải chứng minh (mp-1)(mp-2)...(mp-p+1)-(p-1)! chia hết cho $p^{3}$

Mà $(mp-1)(mp-2)...(mp-p+1)-(p-1)!\equiv -mp(p-1)!.\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k} + m^{2}.p^{2}.(p-1)!.\sum \frac{1}{i.j} (mod p^{3})$ 

Do $(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\equiv 0 (mod p^{2})$ và $(p-1)!.\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{2}}\equiv 0 (mod p)$

Nên $mp.(p-1)!.\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv 0 (mod p^{3})$ và $p^{2}.(p-1)!.\sum \frac{1}{i.j}=p^{2}.(p-1)!.\sum_{i=1}^{p-1}(\frac{1}{i}.(\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k})-\frac{1}{i^{2}})\equiv 0 (mod p^3)$

Vậy ta có đpcm

Sao lại có nhóm này nhỉ.

chứng minh  $v_q(2^{m}+3^{m}) =v_q(2^{n}+3^{n}) ; q = p_{i}  i=1,k $

công thức số mũ thôi mà vs m= n.$p_{k+1}$ và $p_{k+1}$ nguyên tố cùng nhau vs mọi $p_{i}$ vs $i=1,k$

Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thoả mãn $n^2|3^n+2^n$.

*,ta nhận thấy n=5 thỏa mãn.
 
khi đó có 11 | $2^{5}$+$3^{5}$
 
nên chọn được tiếp n=5.11 thỏa mãn
 
*,xét số n dựa theo cách trên,n=$p_{1}$.$p_{2}$....$p_{k}$ vs $p_{i}$ là số nguyên tố với mọi i
 
Ta sẽ chứng minh qui nạp rằng tồn tại ước nguyên tố khác $p_{i}$ vs $i=1,k$  là p thỏa mãn $p | 2^{n}+3^{n}$
 
Giả sử khẳng định đúng đến n.
 
Hay tồn tại $p_{k+1}$ | $2^{n}$+$3^{n}$ 
 
Thì xét m=n. $p_{k+1}$ 
 
Khi đó m cũng thỏa mãn bài toán.
 
Ta sẽ chứng minh tồn tại p nguyên tố mà $p | 2^{m}+3^{m}$ 
 
Ta có  $v_q(2^{m}+3^{m}) =v_q(2^{n}+3^{n}) ; q = p_{i}  i=1,k $
 
Và $v_q(2^{m}+3^{m}) = v_q(2^{n}+3^{n})+1  ; q = p_{k+1}$ 
mà rõ ràng  $2^{m}+3^{m}> p_{k+1}. (2^{n}+3^{n})$
Nên tồn tại p,đpcm
Từ kết luận trên,chúng ta luôn xây dựng dk dãy thỏa mãn đề bài

 Nếu c chẵn chắc chắn pt vô nghiệm, xét tích 2 số nguyên tố cùng nhau.

Nếu c lẻ , tức i lẻ, nen k lẻ , do đó x lẻ.Vô lí do x phải chẵn.

i lẻ nên k lẻ ???