firesidecake

CM: voi a, b, c>0:

$\sum \frac{a^{4}}{5a^3+b^3}\geq \sum \frac{a^{3}b}{5a^{3}+b^{3}}$

Cho tam giác ABC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Các đường thẳng AI, BI, CI cắt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, K. Trên cạnh BC, lấy M. Lấy P, Q thoả mãn MP song song BE, CP vuông góc CK, MQ song song CK, BQ vuông góc BE. CM: DE, QK, MD đồng quy.

Cho H là trực tâm tam giác ABC không cân, góc A nhọn. Hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh AB, AC, theo thứ tự là E, F. Gọi D là trung điểm của BC; P, Q là giao điểm của hai đường tròn đường kính AD, BC. Chứng minh rằng H, P, Q thẳng hàng và các đường thẳng BC, EF, PQ đồng quy.

Lấy ngẫu nhiên 498 số nguyên dương không vượt quá 1000. CMR, trong đó có 2 số có tổng chia hết cho 111.

Giải phương trình:

$8x^{2}-15x+9= (1+\frac{1}{x})\sqrt[3]{5x^{2}-2x-2}$