S dragon

Hình như bạn chưa đề cập $x$ là gì thì phải.

xin lỗi bạn mình gõ nhầm   

Thật sự là mình không biết . Nhưng dấu bằng xảy ra không phải ở a=b=c

Từ giả thiết tương đương

$2(a^2c+b^2a+c^2b)\geq a^2b+b^2c+c^2a+3abc$

$\Leftrightarrow 2[a^3+b^3+c^3-a^2c-b^2a-c^2b]\leq (a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a)+a^3+b^3+c^3-3abc$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}(2b+a)(a-b)^2 \leq \frac{1}{3}\sum (2a+b)(a-b)^2+\frac{1}{2}(a+b+c)[\sum (a-b)^2)]$

$\Leftrightarrow 4\sum (2b+a)(a-b)^2\leq 2\sum (2a+b)(a-b)^2+3(a+b+c)[\sum (a-b)^2]$

$\Leftrightarrow 3(a-b)^2(a+c-b)+3(b-c)^2(b+a-c)+3(c-a)^2(c+b-a)\geq 0$ (đúng vì $a,b,c$ là độ dài các cạnh tam giác)

Bài 1:Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}=x^2-6x+13$

 

Áp dụng Bunhiacopsky cho VT:

$\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}\leq \sqrt{2(7-x+x+1)}$ 

<=>$\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}\leq4$ (1)

Mặc khác: $x^2-6x+13=(x-3)^2+4\geq 4$ (2)

(1),(2) => $\sqrt{7-x}+\sqrt{x+1}=x^2-6x+13=4$ => $x=3$

$\Leftrightarrow 2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3+3(abc)^2<(ab)^23(a^2+b^2+c^2)+(bc)^23(a^2+b^2+c^2)+(ca)^23(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow (ab)^2(3a^2-2ab+3b^2)+(bc)^2(3b^2-2bc+3c^2)+(ca)^2(3c^2-2ca+3a^2)>0$ (đúng vì $a,b,c>0$)

Đáng nhẽ ra phải như thế này chứ :$\sum (ab)^{2}(3a^2-2ab+3b^2+3c^2)>0$