S dragon

Cho $(x_n)$ thỏa $x_0=0; x_1=45; x_{n+2}=3x_{n+1}+x_n$. Tìm số dư của $x_{2008}$ khi chia cho $2012$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $M$ là một điểm bất kì trên đường tròn. Gọi $D, E, F$ là chân các đường vuông góc từ $M$ đến $BC, CA, AB$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $DE$ đi qua trung điểm $HM$.

Trên một mặt bàn đặt một số các đồng xu với kích cỡ không giống nhau đôi một (các đồng xu không được đè lên nhau và phải nằm sấp hoặc ngửa trên bàn). Chứng minh rằng dù ta đặt như thế nào đi nữa, cũng luôn tồn tại một đồng xu chỉ tiếp xúc được với nhiều nhất 5 đồng xu khác.
 

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. CMR:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}\geq 5$

Cho $a,b,c>0$   và $a^2+b^2+c^2=1$. CMR

$\frac{a}{a^3+bc}+\frac{b}{b^3+ac}+\frac{c}{c^3+bc}\geq 3$