kanashini

$A=k_1.k_2+k_2.k_3+k_3.k_4+k_4.k_5 \leq (k_1+k_3+k_5)(k_2+k_4)$

$\sqrt{(k_1+k_3+k_5)(k_2+k_4)}\leq \frac{k_1+k_2+k_3+k_4+k_5}{2}=\frac{1}{2}$

$\rightarrow A\leq \frac{1}{4}$

ĐK:$m$ khác 0

(d) đi qua A(0;-1) có vtcp $\vec{AM}(1;-m)$ nên có phương trình: $y=-mx-1$

(P) tiếp xúc với (d) $\Leftrightarrow mx^2+mx-4=-mx-1$ có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow mx^2+2mx-3=0$ có nghiệm duy nhất.

$\Delta'=m^2+3m=0$

Suy ra $m=-3$ do m khác 0

Ta có:

$3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=15^3-495=2880$

$\leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=960$

Đặt $x+y=a;y+z=b;z+x=c$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix}abc=960 & \\a+b+c=30 & \end{matrix}\right.$ với a;b;c nguyên

$\frac{a^2}{a+2b^2}=\frac{a(a+2b^2)-2ab^2}{a+2b^2}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}\geq a-\frac{2}{3}.\sqrt[3]{(ab)^2}$

Tương tự, đc:

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq \sum a-\frac{2}{3}.\sum \sqrt[3]{(ab)^2}$

Lại có:

$a+ab+b \geq 3\sqrt[3]{(ab)^2}$

Tương tự, có: $2(a+b+c)+ab+bc+ca\geq 3\sum \sqrt[3]{(ab)^2}$

Suy ra: $3\sum \sqrt[3]{(ab)^2}\leq 2(a+b+c)+\frac{(a+b+c)^2}{3}=9$

Từ đây đc đpcm.

1b,$\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b}+\frac{1}{m_c}\geq\frac{9}{m_{a}+m_{b}+m_{c}}\geq \frac{9}{\frac{9R}{2}}=\frac{2}{R}$