khanh2101

Cho $a,b,c \in \left [ 0;1 \right ]$

Chưng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

Sử dụng Engel: 

$a+b+c\leq 3\Rightarrow \sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{9}{6-(a+b+c)}\geq 3$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cách hay hơn ạ: 

$(a+b)+(b+c)+(c+a)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\Rightarrow 8(a+b+c)^{3}\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Sử dụng hằng đẳng thức này nhé:$(a+b+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)$

Ta cần chứng minh $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$

Thật vậy

$3(a^{3}+b^{3})=3(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\geq 3ab(a+b)$

$3(b^{3}+c^{3})\geq 3bc(b+c)$

$3(c^{3}+a^{3})\geq 3ca(c+a)$

$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 6abc$

$\Rightarrow 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng: 

$\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}+\frac{ca}{4a+4b+c}\leq \frac{a+b+c}{9}$

Xét hai trường hợp $ab\leq 0$ và $ab\geq 0$

Với  $ab\geq 0$ Đặt $\frac{a}{b}= t$

$t^{4}+1\geq 2t^{2}$

$t^{2}+1\geq 2t $

$\Rightarrow t^{4}+2\geq t^{2}+2t $

$\Leftrightarrow t^{4}+2-t^{2}+t\geq 3t$ 

$\Leftrightarrow t^{4}-t^{2}+t\geq 3t-2$

Tương tự, ta chứng minh được$\frac{1}{t^{4}}-\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{t}\geq \frac{3}{t}-2$

Do đó $P\geq2$

Với $ab\leq 0$ Đặt $\left | \frac{a}{b} \right |=t$

$\Rightarrow t^{4}+2\geq t^{2}+2t $$t^{4}-t^{2}-t\geq t-2$

Tương tự $\frac{1}{t^{4}}-\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t}\geq \frac{1}{t}-2$

Do đó $P\geq -2$