Bài tiếp :
1,Tìm tất cả các giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện : $a \geq \frac{-1}{2};\frac{a}{b} >1$ sao cho biểu thức $P=\frac{2a^3+1}{b(a-b)}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2,Cho các số thực dương $a,b$ thỏa $a+b+1=3ab$.Tìm GTLN $P=\frac{3a}{b(1+a)}+\frac{3b}{a(1+b)}-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}$
2. $$\frac{3a}{b\left ( 1+a \right )}+\frac{3b}{a\left ( 1+b \right )}=\frac{3\left ( a+b \right )^2}{ab\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )}=\frac{27\left ( a+b \right )^2}{4\left ( a+b+1 \right )^2}=\frac{27}{4\left ( 1+\dfrac{1}{a+b } \right )^2}$$
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{\left ( a+b \right )^2-2ab}{a^2b^2}=\frac{\left ( a+b \right )^2-\dfrac{2}{3}\left ( a+b+1 \right )}{\dfrac{1}{9}\left ( a+b+1 \right )^2}=\frac{-\dfrac{6}{\left ( a+b \right )^2}-\dfrac{6}{\left ( a+b \right )}+9}{\left ( 1+\dfrac{1}{a+b} \right )^2}$$
Có: $a+b+1=3ab\leq \frac{3\left ( a+b \right )^2}{4}\Rightarrow \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{2}$. Đặt $t=\frac{1}{a+b}$ với $t\in\left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$
$$P=f\left ( t \right )=\frac{27}{4\left ( t+1 \right )^2}+\frac{6t^2+6t-9}{\left ( t+1 \right )^2}$$
$$f\left ( t \right )=\frac{12t+21}{2\left ( t+1 \right )^3}>0\ \forall t\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$$
$$\Rightarrow P=f\left ( t \right )\leq f\left ( \frac{1}{2} \right] =1$$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
- caybutbixanh, 25 minutes và haichau0401 thích