Đến nội dung

Love Inequalities

Love Inequalities

Đăng ký: 26-06-2014
Offline Đăng nhập: 19-03-2021 - 20:19
-----

#598979 Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016

Gửi bởi Love Inequalities trong 18-11-2015 - 19:48

Bài tiếp :

1,Tìm tất cả các giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện : $a \geq \frac{-1}{2};\frac{a}{b} >1$ sao cho biểu thức $P=\frac{2a^3+1}{b(a-b)}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

2,Cho các số thực dương $a,b$ thỏa $a+b+1=3ab$.Tìm GTLN $P=\frac{3a}{b(1+a)}+\frac{3b}{a(1+b)}-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}$

2. $$\frac{3a}{b\left ( 1+a \right )}+\frac{3b}{a\left ( 1+b \right )}=\frac{3\left ( a+b \right )^2}{ab\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )}=\frac{27\left ( a+b \right )^2}{4\left ( a+b+1 \right )^2}=\frac{27}{4\left ( 1+\dfrac{1}{a+b } \right )^2}$$

$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{\left ( a+b \right )^2-2ab}{a^2b^2}=\frac{\left ( a+b \right )^2-\dfrac{2}{3}\left ( a+b+1 \right )}{\dfrac{1}{9}\left ( a+b+1 \right )^2}=\frac{-\dfrac{6}{\left ( a+b \right )^2}-\dfrac{6}{\left ( a+b \right )}+9}{\left ( 1+\dfrac{1}{a+b} \right )^2}$$

Có: $a+b+1=3ab\leq \frac{3\left ( a+b \right )^2}{4}\Rightarrow \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{2}$. Đặt $t=\frac{1}{a+b}$ với $t\in\left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$

$$P=f\left ( t \right )=\frac{27}{4\left ( t+1 \right )^2}+\frac{6t^2+6t-9}{\left ( t+1 \right )^2}$$

$$f\left ( t \right )=\frac{12t+21}{2\left ( t+1 \right )^3}>0\ \forall t\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$$

$$\Rightarrow P=f\left ( t \right )\leq f\left ( \frac{1}{2} \right] =1$$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$




#598941 $\frac{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}...

Gửi bởi Love Inequalities trong 18-11-2015 - 13:07

Mình sửa lại đề thành tìm GTNN nhé bạn!

$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{a+b+c}$

$\geq \frac{1}{\left ( b+\frac{a}{2} \right )^2}+\frac{1}{\left ( c+\frac{a}{2} \right )^2}+\frac{4}{a+b+c}+2\sqrt{a+b+c}$
$\geq \frac{8}{\left ( a+b+c \right )^2}+\frac{4}{a+b+c}+2\sqrt{a+b+c}$
Đặt $t=\sqrt{a+b+c}$ với $t>0$ . Xét $f\left ( t \right )=\frac{8}{t^4}+\frac{4}{t^2}+2t$
$$f'\left ( t \right )=-\frac{32}{t^5}-\frac{8}{t^3}+2=\frac{2\left ( t-2 \right )\left ( t^4+2t^3+4t^2+4t+8 \right )}{t^5}$$
$$f'\left ( t \right )=0\Leftrightarrow t=2$$
Khảo sát hàm số ta được $P\geq f\left ( t \right )\geq f\left ( 2 \right )=\frac{11}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=0, b=c=2$



#569108 Tìm min của P=$\frac{1}{(x+1)^2}$+$...

Gửi bởi Love Inequalities trong 30-06-2015 - 16:08



cho x,y,z thoa man x2+y2+z2$\leq$3y tim min cua

P=$\frac{1}{(x+1)^2}$+$\frac{4}{(y+2)^2}$+$\frac{8}{(z+3)^2}$

Bổ đề: Cho $a, b$ là các số thực dương, khi đó ta có bất đẳng thức sau:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}$$
Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )^2\geq \frac{1}{2}.\left ( \frac{4}{a+b} \right )^2 =\frac{8}{\left ( a+b \right )^2}$
 $P=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{4}{\left ( y+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}$
$\ =\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{1}{\left ( \dfrac{y}{2}+1 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}$
$\ \geq \frac{8}{\left ( x+\dfrac{y}{2}+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}\geq \frac{64}{\left ( x+\dfrac{y}{2}+z+5 \right )^2}$
Theo giả thiết ta có:
$$3y\geq x^2+y^2+z^2$$
$$\Leftrightarrow 3y+6\geq x^2+1+y^2+4+z^2+1\geq 2x+4y+2z$$
$$\Leftrightarrow x+\frac{y}{2}+z\leq 3$$
$$\Rightarrow P\geq \frac{64}{\left ( x+\dfrac{y}{2}+z+5 \right )^2}\geq 1$$
Vậy GTNN của $P$ là 1 khi $x=z=1, y=2$



#569097 Đề kiểm tra chất lượng học kỳ II năm học 2014 - 2015 (THPT Chuyên Thái Nguyên...

Gửi bởi Love Inequalities trong 30-06-2015 - 15:30

Từ điều kiện ta có:
$8xy + 4yz - 2zx = 50$

$\Leftrightarrow {x^2} + 4{y^2} + 4xy + 4yz - 2zx = {x^2} - 4xy + 4{y^2} + 50$
$  \Leftrightarrow {x^2} + 4{y^2} + 4xy - 2z\left( {x - 2y} \right) = {\left( {x - 2y} \right)^2} + 50$
$  \Leftrightarrow {x^2} + 4{y^2} + 4xy + {z^2} = {\left( {x - 2y + z} \right)^2} + 50 \ge 50 $
$  \Rightarrow {x^2} + 4{y^2} \ge 50 - \left( {{z^2} + 4xy} \right) $
$\Rightarrow P \ge \sqrt {\frac{{50 - \left( {{z^2} + 4xy} \right)}}{{{z^2} + 4xy}}}  + \frac{2}{5}\sqrt {{z^2} + 4xy}$
Đặt $t=\sqrt{z^2+4xy}$ với $t>0$.
Khi đó $P \ge \frac{{\sqrt {50 - {t^2}} }}{t} + \frac{2}{5}t=f\left(t\right)$
Ta có $f'\left( t \right) = \frac{{2\left( {t - 5} \right)\left( {t + 5} \right)\left( {{t^4} - 25{t^2} + 625} \right)}}{{{t^2}\sqrt {50 - {t^2}} \left( {{t^2}\sqrt {50 - {t^2}}  + 125} \right)}}$
$f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 5$
Lập bảng biến thiên ra được $P \ge f\left( t \right) \ge f\left( 5 \right) = 3$
Vậy GTNN của $P$ là 3 khi $\left\{\begin{matrix}
 x - 2y + z = 0  & \\ 
z^2 + 4xy = 25  & \\ 
 4xy + 2yz - zx = 25 & 
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{5}$



#524971 Đề thi HSG môn toán 12 THPT tỉnh Thanh Hóa 2013-2014

Gửi bởi Love Inequalities trong 17-09-2014 - 15:40

Câu III

Giả sử $a=mb=nc$

Cần có $8a+3b+4\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc} \right )\leq x\left ( a+b+c \right )$ với $m,n,x>0$

$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc}=\sqrt{\frac{amb}{m}}+\sqrt{\frac{mbnc}{mn}}+\sqrt[3]{\frac{ambnc}{mn}}\leq \frac{a+mb}{2\sqrt{m}}+\frac{mb+nc}{2\sqrt{mn}}+\frac{a+mb+nc}{3\sqrt[3]{mn}}$

=>$8a+3b+4\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc} \right )\leq 8a+3b+ 2.\frac{a+mb}{\sqrt{m}}+2.\frac{mb+nc}{\sqrt{mn}}+4.\frac{a+mb+nc}{3\sqrt[3]{mn}}$

=$\left ( \frac{2}{\sqrt{m}}+\frac{4}{3\sqrt[3]{mn}}+8 \right )a+\left ( 2\sqrt{m}+2\sqrt{\frac{m}{n}}+4\frac{m}{3\sqrt[3]{mn}}+3 \right )b+\left ( 2\sqrt{\frac{n}{m}}+4\frac{n}{3\sqrt[3]{mn}} \right )c$

=>$\frac{2}{\sqrt{m}}+\frac{4}{3\sqrt[3]{mn}}+8 =2\sqrt{m}+2\sqrt{\frac{m}{n}}+4\frac{m}{3\sqrt[3]{mn}}+3=2\sqrt{\frac{n}{m}}+4\frac{n}{3\sqrt[3]{mn}}$ (*)

Giải phương trình này rất phức tạp. Mình chỉ tìm các cặp nghiệm nguyên nào mà $\sqrt{m}, \sqrt{mn}, \sqrt[3]{mn}$ là các số nguyên

Tìm ra $m=4, n=16=>x=\frac{28}{3}$ thỏa mãn điều kiện (*)

=>$8a+3b+4\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc} \right )\leq 8a+3b+4.\frac{a+4b}{4}+4.\frac{4b+16c}{16}+4.\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{28}{3}\left ( a+b+c \right )$

Đặt $t=a+b+c$ với $t>0$

Xét $f\left ( t \right )=\frac{t}{1+t^{2}}$ trên $\left ( 0;+\infty  \right )$

$f'\left ( t \right )=\frac{1-t^{2}}{\left ( 1+t^{2} \right )^{2}}=0<=>t=1$

Lập bảng biến thiên ra thấy $f\left ( t \right )\leq f\left ( 1 \right )=\frac{1}{2}$

=>$P=\frac{28}{3}.f\left ( t \right )\leq \frac{28}{3}.f\left ( 1 \right )=\frac{14}{3}$

Vậy GTLN của $P$ là $\frac{14}{3}$ khi $t=1$ hay $\left ( a;b;c \right )=\left ( \frac{16}{21};\frac{4}{21};\frac{1}{21} \right )$




#524433 $\left\{\begin{matrix}2x^{3}+y^{3}+2x^{2}+y^{2}=xy\l...

Gửi bởi Love Inequalities trong 14-09-2014 - 13:06

Giải hệ: $\left\{\begin{matrix}2x^{3}+y^{3}+2x^{2}+y^{2}=xy\left ( 2x+3y+4 \right ) & \\\frac{x^{2}+1}{y}+\frac{y^{2}+1}{x}=\frac{10}{3} & \end{matrix}\right.$

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề




#513382 $x^{3}+5x^{2}+3x+2=\sqrt[3]{x^{2...

Gửi bởi Love Inequalities trong 17-07-2014 - 13:33

Đoán đc nghiệm x=0 nhân liên hợp.

$PT\Leftrightarrow x(x^2+5x+3)+2-\sqrt[3]{x^2+10x+8}=0$

$x(x^2+5x+3-\frac{x^2+10x}{4+2\sqrt[3]{x^2+10x+8}+(\sqrt[3]{x^2+10x+8})^2})=0$

Suy ra $x=0$ (đúng) hoặc vế còn lại =0

Mà VT$> x^2+5x+3-\frac{4}{7}x^2-\frac{40}{7}x>0$

Vậy nghiệm đúng là $x=0$   :)

p/s: Chứng minh vế còn lại lớn hơn 0 thì có nhiều số như trên :D

bạn bị thiếu nghiệm rồi




#513118 $x^{3}+5x^{2}+3x+2=\sqrt[3]{x^{2...

Gửi bởi Love Inequalities trong 16-07-2014 - 10:32

Giải phương trình: $x^{3}+5x^{2}+3x+2=\sqrt[3]{x^{2}+10x+8}$




#512307 Tìm Pmax=$x^{2}+y^{2}+z^{3}$

Gửi bởi Love Inequalities trong 11-07-2014 - 17:07

dùng cosi

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sum xy=5$ 

dấu đẳng thức $x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}$

Bạn nhìn kĩ vào, là $z^{3}$, chứ $z^{2}$ thì đơn giản quá




#512177 [TSĐH 2014] Đề thi khối B

Gửi bởi Love Inequalities trong 10-07-2014 - 22:18


 

 

Câu 9: (1,0 điểm) Cho các số thực $a,b,c$ không âm thỏa mã điều kiện $(a+b)c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{a + c}}}  + \frac{c}{{2\left( {a + b} \right)}}$

 

_HẾT_

 

Ta có $ \sqrt {\frac{a}{{b + c}}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$. Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:  $a\left ( b+c-a \right )^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Tương tự: $ \sqrt {\frac{b}{{a + c}}}\geq \frac{2b}{a+b+c}$ vì $b\left ( a+c-b \right )^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

$P\geq \frac{2\left ( a+b \right )}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{2\left ( a+b \right )}-\frac{1}{2}\geq 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi  $\left\{\begin{matrix}a\left ( b+c-a \right )^{2}=0\\b\left ( a+c-b \right )^{2}=0 \\4\left ( a+b \right )^{2}=\left ( a+b+c \right )^{2} \\\left ( a+b \right )c>0 \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}a=0\\b=c \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}b=0\\a=c \end{matrix}\right.$




#511947 Tìm Pmax=$x^{2}+y^{2}+z^{3}$

Gửi bởi Love Inequalities trong 09-07-2014 - 20:45

Cho $ x,y,z.$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy+yz+zx=5$

Tìm GTNN của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+z^{3}$




#509983 $\sum\frac{1}{x^2+y^2}\leq 3+ \frac{x^3+y^3+z^3}{2xy...

Gửi bởi Love Inequalities trong 30-06-2014 - 15:54

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{x^{2}+z^{2}}\leq 3+ \frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương:

$\sum \frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}\leq \sum \frac{x^{2}}{2yz}$ (Vì $\sum a^{2}=1$)

<=>$\sum \frac{x^{2}}{2yz}(y-z)^{2}> 0$ (luôn đúng)

=>đpcm




#509786 Chứng mình bất đẳng thức: $\sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{...

Gửi bởi Love Inequalities trong 29-06-2014 - 11:00

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:

$\left ( \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \right )\left ( x\sqrt{x\left ( y+z \right )}+y\sqrt{y\left ( z+x \right )}+z\sqrt{z\left ( x+y \right )} \right )\geq (x+y+z)^{2}$

<=>$\left ( \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \right )\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x\sqrt{xy+xz}+y\sqrt{xy+yz}+z\sqrt{yz+zx}}$

      $\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{x^{2}+y^{2}=z^{2}+2xy+2xz+2zx}{2}}=2$

Dấu "=" không xảy ra nên  $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$




#509732 Đề thi HSG Tp Hà Nội lớp 12 năm 2013-2014

Gửi bởi Love Inequalities trong 28-06-2014 - 23:24

Mình không gõ được nên đăng ảnh thôi!

Hình gửi kèm

  • Untitled.png