vanhuongsky

ba hướng đi đều ra : lượng giác hóa ;đirrichle;dồn biến 

Chắc đề sai rồi. Nghĩ nhức óc..... Oài đề ôn thi TST mà sai thế này .  Chán !!!!

Trả lời cho dòng đầu tiên : T không thể gồm toàn các số nguyên tố được ạ ( vì T hữu hạn ). Còn đề bài chính xác (do em viết thiếu một cái )Cái kể luận là tồn tại z trong S khác 1 và x;y trong T để f(z)=UCLN(x;y). Và nó nằm trong quyển ôn thi TST của Trung Quốc từ lâu rồi do chú em nghiên cứu mang về ạ. Thì trong đó hint của nó là f(x)=x và chọn z là prim. Đơn giản là vì em thấy về cái hàm f nó có vẻ giống trong bài 30-4 nhưng điều kiện chặt hơn . Và ai trong số chúng ta cũng biết là phải xác định được f(x) trước khi chứng minh cái sau ạ. Thì sau khi có gợi ý này em mới chế như kia (có vẻ là lộ hơn là đã cho biết z nguyên tố ). Em cũng đang học đại học rồi nên học toán chỉ để tìm thêm cái gì đó hay hay cho vui thôi . Chứ số học trong diễn đàn ít bài lạ quá . 

OK. Bài toán được giải quyết. Cơ mà có nên dừng lại ở đây. Ta nhận thấy theo các giải này thì mới sử dụng đúng một tính chất là T là con của S mà chưa dùng gì đến tính chất hàm f(x).Em thử sửa lại kết luận bài toán theo hướng đi T là con của S và cần nhiều tới hàm f hơn nhưng không biết có đúng không ạ. Hi vọng sẽ là bài toán thách thức mới và có hướng đi lạ hơn.

Đặt $x+y=2t \Rightarrow 1=x^{3}+y^{3}=(x+y)^3-3xy(x+y) \Rightarrow 1=8t^{3}-6xyt \Rightarrow t^{2}=(\frac{x+y}{2})^2\geq xy=\frac{8t^{3}-1}{6t}$ $\Rightarrow 0< t\leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $

Ta có :

 $A=\frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x)(1-y)}=\frac{2(x+y)^2+2(x-y)^2}{((1-x)+(1-y))^2-((1-x)-(1-y))^2}\geq \frac{2(x+y)^2}{(2-(x+y))^2}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2(2t)^2}{(2-2t)^2}=\frac{2t^{2}}{(1-t)^2}$

Do $0< t\leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ nên $\Rightarrow \sqrt{\frac{A}{2}}= \frac{t}{1-t}=\frac{1}{1-t}-1\geq \frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{(\sqrt[3]{2}-1)^2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$