vanhuongsky

Cho $N$ là tập các số nguyên dương  và $k$ là số nguyên dương  khác 1 cho trước. Xét hàm số $f:N\rightarrow N$ thỏa mãn $f(k)=k$ và $f(m)f(n)=f(mn)$với mọi $m;n$$\epsilon N$.Cho $x;y;z$ là ba số nguyên dương khác 1 và đôi một nguyên tố cùng nhau.Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số $a;b;c\epsilon N$ đôi một nguyên tố cùng nhau để $\frac{f(a)x^{a}+f(b)y^{b}+f(c)z^{c}}{a+b+c}$ là số nguyên.

Giả sử có dãy $x_{n}$ thỏa mãn với mọi đa thức bậc hai P(x) có hệ số nguyên không âm ta đều có :

                             $\lim_{n\rightarrow \infty }(x_{n}+x_{P(n)})=0$

Liệu có suy ra được $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ ?

Cho N, P lần lượt là tập số nguyên dương và tập số nguyên tố, k là số nguyên dương cho trước. Kí hiệu S=$\left \{ n\epsilon N : |n-p|\leq k ;p\epsilon P \right \}$. Xét hàm số f: S↦S sao cho : f(m)+f(n) là ước của $(m+n)^{k}$ với mọi m;nϵS. Gọi T là tập hữu hạn các số nguyên dương mà mỗi số có một ước chính phương khác 1 sao cho với mỗi số nguyên n đều tồn tại trong T ít nhất một phần tử q để ƯCLN(q;n)=f(1) hoặc ƯCLN(q;n)=f(q). Chứng minh rằng tồn tại  hai phần tử x;y $\epsilon S\cap T$  để ƯCLN(f(x);f(y)) là số nguyên tố.