datmc07061999

Bài 196: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{bc}{(a+c)(a+b)}-\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

- Xin trình bày như sau:
Viết lại P
$P=\frac{1}{(x+1)(y+1)}-\frac{4}{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(y+\frac{x}{y})(x+\frac{y}{x})}=\frac{1}{(xy+x+y+1)}-\frac{4xy}{(x+y)(xy+x+y+1)}$
(Cái đoạn này cứ chia a,b,c tương ứng xuống mẫu thôi)
Với $x=\frac{a}{c};y=\frac{a}{b}\rightarrow \frac{x}{y}=\frac{b}{c}$
Ta đi chứng minh 
$P\geq \frac{-1}{3}\Leftrightarrow x+y-4xy\geq \frac{-1}{3}(x+y)(xy+x+y+1)\Leftrightarrow (x+y)^{2}+4(x+y)+xy(x+y)-12xy\geq 0$
Lại có $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}\geq 4xy & \\ xy(x+y)\geq 2xy\sqrt{xy}& \\ x+y\geq 2\sqrt{xy}& \end{matrix}\right.$.
Do đó ta quy BĐT về: 
       $xy\sqrt{xy}-4xy+4\sqrt{xy}\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{xy}(\sqrt{xy}-2)^{2}\geq 0$    (Luôn đúng)
Vậy $P\geq \frac{-1}{3}$. Đẳng thức khi $x=y=2\rightarrow a=2b=2c$.

P/s: 2 năm rồi mới quay lại diễn đàn

Bài 197: (THPT Mộc Lỵ lần 2)

Cho $x,y>0$ thỏa $2x+3y=7$ Tìm MIN:

   $P=2xy+y+\sqrt{5(x^{2}+y^{2})}-24\sqrt[3]{8(x+y)-(x^{2}+y^{2}+3)}$

Bài 198: (THPT Mộc Lỵ lần 3)

Cho $a,b,c>0$ thỏa $4(a^{3}+b^{3})+c^{3}=2(a+b+c)(ab+bc-2)$ Tìm MAX:

   $P=\frac{2a^{2}}{3a^{2}+b^{2}+2a(c+2)}+\frac{b+c}{a+b+c+2}-\frac{(a+b)^{2}+c^{2}}{16}$

Mọi người hướng dẫn cho câu hình ngày 2 với.

Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn thì $\prod ( 1+\frac{1}{sinA} ) . \prod ( 1+\frac{1}{cosA} ) > 197$

 Để ý rằng: $(sinA+cosA+1)(sinA+cosA-1)=2sinAcosA$

 Suy ra: 

$(1+\frac{1}{sinA})(1+\frac{1}{cosA})= 1+ \frac{sinA+cosA+1 }{sinAcosA}=1+ \frac{2}{sinA+cosA-1}$

Mặt khác:  $0<sinA +cosA=\sqrt{2}sin(A+\frac{\pi}{4} )\leq \sqrt{2}$.

 Suy ra $P> (3+2\sqrt{2})^{3}$  (dấu bằng không xảy ra là do $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}= 180$)

 Vậy $P>197$.

   Các bạn like ủng hộ mình nha...

2. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\sum \sqrt{3a^2+8b^2 +14ab}\leq \sum 5a$.

   Ta tách như sau: 

        $\sum \sqrt{3a^{2}+8b^{2}+12ab+2ab}\leq \sum \sqrt{4a^{2}+12ab+9b^{2}}=2a+3b$

  Tương tự ta có ĐPCM.

 Các bạn like ủng hộ mình nha...