duythanbg

Bổ đề : Nếu p là số nguyên tố và $p\equiv 3(mod4)$, $p|a^2+b^2$ thì $p|(a,b)$

Nếu x là số chẵn ta dễ chứng minh được phương trình vô nghiệm.

Xét x là số lẻ. Do số chính phương lẻ chia 4 dư 1 nên x chia 4 dư 1                  (2)

Phương trình có dạng : $x^7+2^7=y^2+36$

Do $x^7+2^7=(x+2)(x^6-2x^5+...+64)$

mà  $x+2$  chia 4 dư 3.

Vì vậy $x^7+2^7$ phải có ước nguyên tố $p\equiv 3(mod 4)$

Do đó $p|x^2+6^2\Rightarrow p|6\Rightarrow p=3$

Suy ra x chia 3 dư 1           (1)

Suy ra $9|y^2+6^2$ 

Mà từ (1) suy ra : $x^6-...+64\equiv 1(mod3)$

Do đó $x+2\equiv 0(mod9)$                                                                                (3)

Từ các điều trên và (2),(3) ta có thể đặt : 

$x=36t+25,y=3m$

Suy ra : $(4t+3)A=m^2+2^2$

Do 4t + 3 phải có ước nguyên tố q chia 4 dư 3 nên $q|m^2+2^2\Rightarrow q|2$ ( Vô lý ) 

Theo mình thì nên học phần khó, phần mà mình học chưa tốt vì như thế nó mới rèn luyện cho ta được cái tư duy tốt và ta nên kiên trì với nó như thế thì ta mới thông minh hơn được. 

Chứng minh BĐT Tổng quát được đấy : 

Với $a_{i}>0$

$a_{1}a_{2}...a_{n}(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2) \leq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{n+2}}{n^{n+1}}$

Chứng minh bằng Quy nạp và Dồn biến về Trung bình cộng. 

Bạn nên rèn luyện chăm chỉ, học lấy cái quan trọng nhất. Đến lúc đó bạn sẽ có được cái mà người ta gọi là " Nhạy cảm Toán học " .

Toán sơ cấp thì phương pháp đa dạng lắm.

bài này có trong chuyên đề sử dụng LTE ở quyển Chuyên đề Số học - Mathscope .

Bạn chịu khó lên mạng tìm đi.