Bài này chỉ cần thêm biến thôi.
Thêm biến z > 0 :
$f(x+f(y+f(z)))=f(x+y+f(z))+f(y+f(z))\Leftrightarrow f(x+f(y+f(z)))=f(x+y+z)+2f(z)+f(y+z)$
Mặt khác : $f(x+f(y+f(z)))=f(x+f(y+z)+f(z))=f(x+f(z)+y+z)+f(y+z)=f(x+y+2z)+f(z)+f(y+z)$
Do đó ta có : $f(x+y+2z)=f(z)+f(x+y+z)$ Từ đây hiển nhiên suy ra rằng f cộng tính trên $\mathbb{R}^{+}$
Do đó phương trình hàm ban đầu có dạng là : $f(x)+f(f(y))=f(x)+2f(y)\Leftrightarrow f(f(y))=2f(y)$ (*)
Do f cộng tính trên $\mathbb{R}^{+}$ nên $f(x)=ax(a>0)$ .
Thử vào (*) ta thấy $a=2$
Thử lại ta được $f(x)=2x$ thỏa mãn đề bài.
- Bichess yêu thích