Câu 4: $f(f(x-y)) = f(x) - f(y) + f(x).f(y) - xy$ (1)
Giả sử tồn tại hàm $f$ thỏa mãn đề bài
Xét $f$ hằng . Giả sử $f(x) = c$ với mọi x
thay $f(x) = c$ vào (1) ta được : $c = c^{2} -xy$ với mọi x,y thuộc R
$\rightarrow$ Vô lí $\rightarrow f$ khác hằng
Thay $x=y=0$ vào (1) ta được: $f(f(0)) = f(0)^{2}$
Thay y=x vào (1) ta được: $f(f(0)) = f(x)^{2} -x^{2}\rightarrow f(x)^{2} = x^{2} + f(0)^{2}$ với mọi x thuộc R (2) $\rightarrow f(x)^2 = f(-x)^2$ với mọi x thuộc R $\rightarrow f(x) = f(-x)$ hoặc $f(x) = -f(-x)$ với mọi x thuộc R Thay y=0 vào (1) ta được $f(f(x)) = f(x) - f(0) + f(x).f(0)$ với mọi x thuộc R (3) Thay x=0, y =-x vào (1) ta được $f(f(x))= f(0) - f(-x) +f(0).f(-x)$ với mọi x thuộc R (4) Từ (3) & (4) ta có: $f(x) + f(-x) + f(0). [ f(x)- f(-x)] = 2.f(0)$ với mọi x thuộc R (5) Xét trường hợp f(x) = f(-x) với mọi x thuộc R Thay vào (5) ta có f(x) = f(0) ( vô lí vì f khác hằng ) $\rightarrow f(x) = -f(-x)$ với mọi x thuộc R Thay f(x)=-f(-x) vào (5) ta được: $f(0).f(x)=f(0)$ $\rightarrow f(0) =0$ ( do f khác hằng ) Thay $f(0) = 0$ vào (2) ta được $f(x)^{2} = x^{2}$ $\rightarrow f(x) = x$ hoặc $f(x)=-x$ Giả sử tồn tại $x_0 # 0$ thỏa mãn $f(x_0)=-x_0$ Thay $x=x_0$ vào (3) ta được $f(f(x0))=f(x0)\rightarrow x_0 =0$ ( trái với điều giả sử ) $\rightarrow f(x) = x$ với mọi x thuộc R Thử lại vào (1) ta thấy thỏa mãn Vậy $f(x) = x$ với mọi x thuộc R là nghiệm duy nhất của phương trình hàm