anhtunu98

Câu 2 : 

  Gọi d = (16n+9 ; 9n + 16 )

$\rightarrow [ 16.(9n + 16) - 9.(16n + 9) ] \vdots d$

$\rightarrow  175=5.5.7  \vdots$ d

Lại có : (n-1) không chia hết cho 5 nên (9n+16) không chia hết cho 5 

$\rightarrow$ 5 không chia hết cho d 

$\rightarrow$ 7 chia hết cho d

Xét trường hợp 1 : 

 (n - 6) không chia hết cho 7 

Khi đó (9n+16) không chia hết cho 7

$\rightarrow$ d=1

Khi đó để $\sqrt{(9n+16)/(16n+9)}$  là số hữu tỷ khi (9n + 16) và (16n+9) là số chính phương

  giả sử: $9n + 16 = a^{2}$ và $16n + 9 = b^{2}$ với a,b là số nguyên dương

$\rightarrow 16a^{2} - 9b^{2} = 175$ 

$\rightarrow (4a-3b)(4a+3b) = 1.175 = 5.35 = 7.25$ 

 $\rightarrow$ a = 29 và b= 22  $\rightarrow$ n=52 (thỏa mãn)

hoặc a = 5 và b= 5  $\rightarrow$ n=1 (loại)

hoặc a=4 và b=3 $\rightarrow$ n=0 ( loại )

Xét trường hợp 2: 

(n-6) chia hết cho 7 

khi đó (9n+16) và (16n+9) chia hết cho 7 

$\rightarrow$ d=7

đặt n = 7k + 6 

$\rightarrow \frac{9n+16}{16n+9} = \frac{9k+10}{16k +15}$

$\rightarrow$ $\sqrt{\frac{9n+16}{16n+9}}$  là số hữu tỷ khi (9k+10) và (16k + 15) là số chính phương 

giải tương tự trường hợp trên $\rightarrow$ vô nghiệm 

Vậy n = 52 là nghiệm duy nhất 

Dinh Xuan Hung:Chú ý $\LaTeX$

Bài 3: Ta có : $x.P(x^{2}+x)+Q(x^{3})= x.$ $(P(x^{2}+x)-P(-1))+Q(x^{3})-Q(1)+Q(1)+x.P(-1)$ Mà $Q(x^{3})-Q(1) \vdots (x^{3}-1) \vdots (x^{2}+x+1) (P(x^{2}+x)-P(-1)) \vdots (x^{2}+x+1)$ Nên $Q(1)+ x.P(-1)\vdots (x^{2}+x+1)$ Mà $deg (Q(1)+x.P(-1))=1 và deg (x^{2} + x +1) = 2$ nên $Q(1)= P(-1) = 0 $ Áp dụng định lí Bezout $P(x) \vdots (x+1) \rightarrow P(x)=(x+1)G(x)$ $Q(x) \vdots (x-1) \rightarrow Q(x)= (x-1) H(x)$ $G(x), H(x)\in \mathbb{Z}[x]$ $=> P(2014)=2015.G(x) \vdots 2015$ $ Q(2016)= 2015. H(x) \vdots 2015 => đpcm (Q.E.D$