samruby

 

 

Bài 2: Cho tam giác ABC, đường cao AH,BI,CK thỏa mãn: $S_{AKI} = S_{BKH} = S_{IHC}$ . Chứng minh rằng: tam giác ABC là tam giác đều.

 

 

Gọi O là giao điểm 3 đường cao

CM: $\Delta AIK \sim \Delta ABC (g-g) \Rightarrow \dfrac{S_{AIK}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AI}{AB})^2$

$\Delta BHK  \sim \Delta BAC (g-g) \Rightarrow  \dfrac{S_{BHK}}{S_{BAC}}=(\dfrac{BH}{AB})^2$

Mà $S_{AKI}=S_{BHK} \Rightarrow (\dfrac{AI}{AB})^2=(\dfrac{BH}{AB})^2 \Rightarrow AI=BH$

CM: $\Delta AIO= \Delta BHO (g-c-g) \Rightarrow OA=OB; OI=OH \Rightarrow OA+OH=OB+OI \Rightarrow AH=BI$

Tương tự CM: $AH=CK$

$\Rightarrow AH=BI=CK \Rightarrow \Delta ABC$ đều

Bài 2

Gọi E là trung điểm của CD

Xét $\Delta ABD$ có: $AN=DN; DE=BE \Rightarrow $ NE là đường trung bình  $\Rightarrow NE=\dfrac{AB}{2}$

$\Delta BCD$ có: $BM=CM; DE=BE \Rightarrow $ ME là đường trung bình $\Rightarrow  ME=\dfrac{CD}{2}$

$\Rightarrow  NE+ME=\dfrac{AB+CD}{2}$

Mà $ME+NE > MN$ ( BĐT trong tam giác)

$\Rightarrow  MN < \dfrac{AB+CD}{2}$

Kẻ $DN//EF; NM//EF (M,N \in AC)$

CM: $\Delta ADN=\Delta CBM(g-c-g) \Rightarrow AN=CM$

Xét $\Delta ADG có: $DN//GF \Rightarrow \dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AN}{AG}$

Xét $\Delta ABM$ có: $BM// GE \Rightarrow \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AM}{AG}$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AE}+\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AM}{AG}+\dfrac{AN}{AG}=\dfrac{AM+AN}{AG}=\dfrac{AN+MN+AN}{AG}=\dfrac{AN+MN+CM}{AG}=\dfrac{AC}{AG}$

$\Rightarrow \frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{AG}$

Gọi N là trung điểm của AM

Xét $\Delta ABM$ có: $BI=IM; AN=MN \Rightarrow IN // AB$ ( tính chất đường TB)

Xét $\Delta ADE$ có $IN//AB \Rightarrow IN//AE \Rightarrow \dfrac{DI}{EI}=\dfrac{DN}{AN}$

Tương tự CM: $\dfrac{ DK}{KF}=\dfrac{DN}{AN} \Rightarrow \dfrac{DI}{IE}=\dfrac{DK}{KF} \Rightarrow IK//EF$ ( định lí Ta lét đảo)