PT Quang 831

1) CMR: $\forall a,b,c$ thuộc $\mathbb{R};abc=1$ ta có:
$\sum \frac{a+3}{(a-1)^2}\geq \frac{47}{16}$

2) CMR: $\forall x,y,z\geq 0$ ta có 

$\frac{1}{x+y+z+1} - \frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq \frac{47}{16}$
3) $a,b\geq 0$ thỏa $a^2+b^2=1$
CMR: $ab+max(a;b)\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

1) Cho $abc=1$
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
2) Cho $0\leq a.b.c\leq 1$
CMR: $a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$

Cho tứ diện ABCD. M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA,AC,BD. Chứng minh rằng: MP, NQ, RS đồng quy

$\left\{\begin{matrix} u_{1} &=0 \\u_{2n+1}=u_{2n} &=n-u_{n} \end{matrix}\right.$
Tính $u_{2014}$

$PT\Leftrightarrow 2(2x+1)^{2}-1=\sqrt{x+5}$

Đặt $2y+1=\sqrt{x+5}$

Ta có : $\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+8x+1=2y+1 & \\ 8y^{2}+8y+1=2x+1& \end{matrix}\right.$

cho mình hỏi PT thứ 2 của bạn ở đâu ra vậy??

Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác BAD và CAE vuông cân tại A. Dựng phía trong tam giác ABC tam giác BFC vuông cân tại F.
a. Gọi M là trung điểm BC. CMR: MA vuông góc với DE
b. CMR: tam giác DFE vuông cân

 

Điều kiện: $x\geq -5$

 Đặt $\sqrt{x+5}=2y+1$

$\left\{\begin{matrix}

\sqrt{x+5}=2y+1 &  & \\ 

 8x^{2}+8x+1=2y+1&  & 

\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}

8x^{2}+8x+1=2y+1 &  & \\ 

8y^{2}+8y+1=2x+1 &  & 

\end{matrix}\right.$

 

:v bạn thử lại xem coi coi đúng hơm đó?? sao mà ra đc cái hệ kia đc

Câu 1. Cho a,b,c>0 ; $a^2+b^2+c^2+abc=4$
CMR: a) $a+b+c\geq ab+bc+ca$

b) $a+b+c\geq abc+2$

Câu 2. Cho a,b,c>0; a+b+c=1.
Tìm GTNN của $S=\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ac}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}$

Câu 3. Cho a,b,c>0; ab+bc+ca+2abc=1
Tìm GTLN của $P=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Câu 4:Cho $a,b,c\geq 0$ ; $a^2+b^2+c^2=3$
CMR: $ab+bc+ca-abc\leq 2$

Câu 5: Cho x,y,z>0; xy=1+z(x+y)
Tìm GTLT của $P= \frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{z}{1+z^2}$

Câu 6: Cho a,b,c>0; a+b+c=1
CMR: $\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\leq \frac{3}{2}$

$\left\{\begin{matrix} x^2 &+ 2yz &= x \\y^2 &+ 2zx &= y \\z^2 &+2xy &= z \end{matrix}\right.$

Câu 1. Cho a,b,c>0 ; $a^2+b^2+c^2+abc=4$
CMR: a) $a+b+c\geq ab+bc+ca$

b) $a+b+c\geq abc+2$

Câu 2. Cho a,b,c>0; a+b+c=1.
Tìm GTNN của $S=\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ac}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}$

Câu 3. Cho a,b,c>0; ab+bc+ca+2abc=1
Tìm GTLN của $P=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Câu 4:Cho $a,b,c\geq 0$ ; $a^2+b^2+c^2=3$
CMR: $ab+bc+ca-abc\leq 2$

Câu 5: Cho x,y,z>0; xy=1+z(x+y)
Tìm GTLT của $P= \frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{z}{1+z^2}$
 

$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2}x_{1} &= cos(\pi x_{1}) \\ 2\sqrt{2}x_{2} &= cos(\pi x_{2}) \\ 2\sqrt{2}x_{3} &= cos(\pi x_{3}) \\ 2\sqrt{2}x_{4} &= cos(\pi x_{1}) \end{matrix}\right.$

$8x^2 + 8x +1 = \sqrt{x+5}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$

 

$\frac{x^3y}{z^2}+\frac{y^3z}{x^2}+\frac{y^3z}{x^2}+xy\geqslant 4y^2$

 

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được

 

$3\sum \frac{x^3y}{z^2}+xy+yz+xz\geqslant 4(x^2+y^2+z^2)$

 

$\Leftrightarrow 3\sum \frac{x^3y}{z^2}\geqslant 4(x^2+y^2+z^2)-\sum xy\geqslant 3(x^2+y^2+z^2)$

 

$\Rightarrow \sum \frac{x^3y}{z^2}\geqslant x^2+y^2+z^2$

Cảm ơn bạn, bạn còn cách khác không?? bài này mình đưa ra hi vọng ai đó làm theo kĩ thuật Cô-si (bằng việc cộng thêm 1 lượng số hạng), bởi trong nhiều bài toán tương tự dễ áp dụng

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^3+x-2 &=y^3+3y^2+4y \\x^5+y^3+1 & = 0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (x^2+y^2)(x^2+y^2+3xy)+2x^2y^2 &= (x+y)\left [ y^2(x+y)+16 \right ] \\ & x(y^3-x^3)=26 \end{matrix}\right.$