PT Quang 831

I) Chứng minh rằng:

1. $lim\frac{2^{n}}{2!}=0$

2.$lim\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}=0$

3.$lim\frac{n}{a^{n}}=0$

II) Tính lim(Un):

1. $U_{n}=\frac{2}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{2}{\sqrt{n^2+n}}$

2.$U_{n}=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}$

                (n dấu căn)

$\sqrt{5+4\sqrt{9-\sqrt{2x}}} \geq 2\sqrt{13}(13-x)$

1) Cho $a,b,c>0; abc=1$
Tính  GTLN P= $\sum \frac{1}{a^2+2b^2+3}$
2) Cho a,b,c>0 ; a+b+c=3

CMR:
a. $\sum \sqrt{a}\geq \sum \sqrt{ab}$

b. $5(\sum \sqrt{a})\geq 4(\sum ab)+3$

c. $\sum \sqrt[3]{a}\geq \sum ab$

d. $11(\sum \sqrt[4]{a})\geq 12(\sum ab)-3$

3) Cho a,b,c>0
CMR: $\sum (\frac{2a}{b+c})^{\frac{2}{3}}\geq 3$

4) n nguyên dương, x>0
CMR: $\frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^n+1}\leq (\frac{x+1}{2})^{2n+1}$

1) ${x_{n}}$ bị chặn và thỏa $x_{n+1}\geq x_{n}-\frac{1}{2^n}$
CMR:  ${x_{n}}$ có giới hạn

2) Cho dãy ${x_{n}}$ xác định bởi $x_{n}=sin(n)$
CMR: ${x_{n}}$ không có giới hạn

1) CMR: $\forall a,b,c$ thuộc $\mathbb{R};abc=1$ ta có:
$\sum \frac{a+3}{(a-1)^2}\geq \frac{47}{16}$

2) CMR: $\forall x,y,z\geq 0$ ta có 

$\frac{1}{x+y+z+1} - \frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq \frac{47}{16}$
3) $a,b\geq 0$ thỏa $a^2+b^2=1$
CMR: $ab+max(a;b)\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$