kelacloi

Ta có : 

$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} <1 \forall n \ge 1$

$ \sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{2n+k} <1 \forall n \ge 1$

bởi thế ta suy ra : $ 4u_{n+2} \le u_{n+1}+u_n$ (*)

Đặt $M_n= max( u_n,u_{n-1}) \forall n \ge 2 \rightarrow M_n \ge 0$

sử dụng (*), ta chứng minh được $M_n $ là dãy giảm.

mặc khác dùng (*), ta suy ra : $ 4u_{n+2} \ge 2M_{n+1}$  và $4u_{n+3} \le 2M_{n+2} \le 2M_{n+1}$

nên suy ra $ 4max(u_{n+2},u_{n+3} ) \le 2M_{n+1}$

hay $ M_{n+3} \le \frac{1}{2}.M_{n+1}$

từ đấy suy ra $\lim M_n = 0$

$\Rightarrow \lim u_n=0 $