lmht

Đặt $t=5^x$  $0<t$, phương trình trở thành $(m+3)t^2+(2m-1)t+m+1=0$ $(1)$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì $(1)$ có hai nghiệm dương phân biệt sao cho một nghiệm lớn hơn $1$, một nghiệm dương nhỏ hơn $1$

$(1)$ có hai nghiệm dương phân biệt khi $\left\{\begin{matrix} \Delta _{1}>0\\ \frac{-\left ( 2m-1 \right )}{m+3}>0\\ \frac{m+1}{m+3}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -3 < m < -1$ $(*)$

Đặt $t=u+1$, $(1)$ trở thành $\left ( m+3 \right )u^2+\left ( 4m+5 \right )u+2m+4=0$  $(2)$

   $(1)$ có hai nghiệm dương phân biệt sao cho một nghiệm lớn hơn $1$, một nghiệm dương nhỏ hơn $1$ khi và chỉ khi $(2)$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow \frac{2m+4}{m+3}< 0\Leftrightarrow -3 < m < -2$ $(**)$

Từ $(*)$ và $(**)$ ta được $-3 < m < -2$

Vậy $m\in \left ( -3;-2 \right )$

 

 

Phải đăng nhập để like cho bạn, quá hay

 

Đã tìm ra cách giải! 

 

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$

$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$

$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-2\sqrt{(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$

 

Nhận thấy bên trong căn có dạng:

$(A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}$

$\Leftrightarrow (A^{2}+B^{2})x + \frac{1}{2}(A^{2}-B^{2}) + 2AB\sqrt{(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A^{2} + B^{2} = 2 & & \\ A^{2} - B^{2} = 0 & & \\ AB = -1 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A = 1 & \\ B = -1 & \end{matrix}\right.v \left\{\begin{matrix} A = -1 & \\ B = 1 & \end{matrix}\right.$

 

Với $A = 1, B = -1$

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$

$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}}dx$

$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}}}dx$

= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$

$= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$

 

Với $A = -1, B = 1$

 

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$

$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x-\frac{1}{2}}- \sqrt{x+\frac{1}{2}})^{2} }dx$

$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x-\frac{1}{2}} - \sqrt{x+\frac{1}{2}}}dx$

= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$

$= -\frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$ (loại)

 

Vậy, đáp số là $= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$

 

 

Quá công phu 

Có ai giải ra câu tổ không ?

Câu 4.

Từ $abc=1$ ta có. 

Bổ đề quen thuộc: $\sum \frac{1}{1+a+b} \le 1$ với $abc=1$

Theo bất đẳng thức $\textbf{B-C-S}$ ta có:

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le \sum \frac{1+a+ca}{1+a+b}  = \left( \sum \frac{1}{1+a+b} \right) (1+a+ca) \le 1+a+ca$

 

P/s: ở dòng 4 mình dùng kí hiệu $\sum$ nhưng nó không được phù hợp cho lắm

Mình không hiểu lời giải của bạn

Đề kêu chứng minh $\left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca$

Nhưng bạn lại chứng minh là $\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le 1+a+ca$

Mình đâu có chém  , bạn biến thử xem

Chẳng hạn bạn muốn chứng minh AD vuông MN thì bạn phải chứng minh đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (AM'N') chẳng hạn, chứ 3 đường AD, BE, CF đồng quy không liên quan gì cả.