lmht

Câu 4.

Từ $abc=1$ ta có. 

Bổ đề quen thuộc: $\sum \frac{1}{1+a+b} \le 1$ với $abc=1$

Theo bất đẳng thức $\textbf{B-C-S}$ ta có:

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le \sum \frac{1+a+ca}{1+a+b}  = \left( \sum \frac{1}{1+a+b} \right) (1+a+ca) \le 1+a+ca$

 

P/s: ở dòng 4 mình dùng kí hiệu $\sum$ nhưng nó không được phù hợp cho lắm

Mình không hiểu lời giải của bạn

Đề kêu chứng minh $\left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca$

Nhưng bạn lại chứng minh là $\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le 1+a+ca$

Chứng minh rằng:

$(a_1+a_2+..a_m)^n=\sum_{n_1+n_2+..+n_m=n}{}\frac{n!}{n_1!n_2!..n_m!}a_1^{n_1}a_2^{n_2}..a_m^{n_m}$

 

Bài 1. Ta sẽ chứng minh $n$ chẵn là các giá trị cần tìm. Giả sử $n$ là một số crunchy và $x_{1}, x_{2}, \cdots x_{2n}$ là các số thỏa yêu cầu.
Do các số không cùng bằng nhau nên có hai giá trị khác nhau, giả sử $x_{1} \neq x_{2}$.

• Mình sẽ cố gắng đi chứng minh rằng $x_{3} = x_{4} = \cdots = x_{2n} = X$, gọi $x_{i}, x_{j}$ thỏa $3 \le i < j < 2n$.
  Gọi $S$ là tổng của $n - 2$ số bất kỳ không gồm chứa $x_{1}, x_{2}, x_{i}, x_{j}$, $P$ là tích của đám còn lại trừ ra $x_{1}, x_{2}, x_{i}, x_{j}$
  Ta có $\begin{cases}x_{1} + x_{i} + S = x_{2}x_{j}.P \\ x_{2} + x_{i} + S = x_{1}x_{j}.P \\ x_{1} + x_{j} + S = x_{2}x_{i}.P\\ x_{2} + x_{j} + S = x_{1}x_{i}.P\end{cases}\implies \begin{cases}x_{1} - x_{2} = P.x_{j}(x_{2} - x_{1}) \\ x_{1} - x_{2} = P.x_{i}(x_{2} - x_{1})\end{cases} \implies Px_{i} = Px_{j} = -1 \implies x_{i} = x_{j}$, ngoài ra, từ đây còn suy ra được chúng bằng $-1$
• Mặt khác, một trong hai $X \neq x_{1}$ và $X \neq x_{2}$ phải đúng, giả sử $X \neq x_{1}$, khi đó cũng áp dụng trên suy ra được $X = x_{2}$ hay tập của ta gồm $2n - 1$ số $-1$ và số $x_{1}$ khác $-1$.
  Dễ thấy chỉ có $n$ chẵn là thỏa mãn và bộ thỏa mãn là $(n, -1, \cdots , -1)$ ($2n - 1$ số $-1$).

 

Sao dễ thấy chỉ có $n$ chẵn là thỏa mãn vậy ?

Mọi người có ai có kết quả chưa ? Lâu rồi mà không thấy up kết quả thi nhỉ ?

Tìm điều kiện của $m$ để các pt sau có nghiệm

$1)$ $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=m$

$2)$ $\sqrt{x-3}+\sqrt{7-x}-\sqrt{(x-3)(7-x)}-3m-2=0$

------------------------------------------------------------------------------------------

Mình làm thế này được không mọi người

$2)$ Đk $3\leq x\leq 7$

Đặt $\sqrt{x-3}=a(0\leq a\leq 2);\sqrt{7-x}=b(0\leq b\leq 2)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b-ab-3m-2=0 & & \\ a^2+b^2=4 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(a+b)-2ab-6m-4=0 & & \\ (a+b)^2-2ab=4 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (a+b)^2-2(a+b)=-6m$

Đặt $a+b=t(0\leq t\leq 4)$

$\Rightarrow t^2-2t=-6m$. Xét hàm $f(t)=t^2-2t$

Lập bảng biến thiên 

hkj.jpg

$\Rightarrow -1\leq f(t)\leq 8$

Để pt có nghiệm $\Leftrightarrow -1\leq -6m\leq 8\Leftrightarrow \frac{-4}{3}\leq m\leq \frac{1}{6}$

Kết luận: ...........

Bạn thế m vào rồi giải ra xem được không, nếu được thì ổn rồi, bài bạn thật có tính sáng tạo !

Cho đường tròn tâm P bán kính R và đường tròn tâm Q bán kính r cắt nhau tại A và B (R khác r). Kẻ tiếp tuyến chung CD của (P) và (Q), C thuộc (P), D thuộc (Q). CD cắt AB tại K. ĐƯờng thẳng qua C và song song với AD cắt đuờng thẳng qua D và song song với AC tại E. chứng minh:

a) Ba điểm A,B,E thẳng hàng

b)BE<R+r

Bài hình ít ai chém quá

Xác định k để bất đẳng thức $25x^2+25y^2+kxy-x-y+\frac{1}{100} \ge 0$ được thỏa mãn với mọi cặp số (x;y) là tọa độ của điểm M nằm trên mỗi đường thẳng $y=x$ và $y=-x$

Bài này trong sách có lời giải của mình nhưng lời giải khó hiểu quá,  phiền các bạn giải kỹ dùm mình!

Tìm min: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ với $0<x<1$

Cái này dùm điểm rơi trong cauchy thì ntn ạ

Chứng minh khi: $|m+2| \le \sqrt{2}$, ta có:

$|\frac{3m^2+10m+5}{2}| \le (1+\frac{\sqrt{2}}{2})^2$

Cho: $1978^n-1978^m \vdots 1000$ $(n>m>0)$ Tìm các số m,n sao cho tổng m+n có giá trị nhỏ nhất.

1) Không dùng phép qui nạp hãy chứng minh: $76^k$ (k>0) có hai chữ số tận cùng là 76,$376^k$ có 3 chữ số tận cùng là 376 (sử dụng phép đồng dư)

2) Cho a chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm 2 chữ số tận cùng của số $a^{20}$ và 3 chữ số tận cùng của $a^{200}$

3) Tìm 4 chữ số tận cùng của: a=(1976^{1976}-1974^{1974})(1976^{1975}+1974^{1973})

4) Tìm ba chữ số tận cùng của:

$A=1993^{1994^{1995^{..^{2000}}}}$

Bạn nào có bí quyết gì share với