epicwarhd

Cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của BC, N trên cạnh CD sao cho CN=2ND. Giả sử M($\frac{11}{2},\frac{1}{2}$) và đường thẳng AN: 2x-y-3=0. Tìm tọa độ điểm A

Có $\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}= \frac{ab}{\sqrt{1-a-b-ab}}= \frac{ab}{\sqrt{(1-a)(1-b)}}= \frac{ab}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}\\= \frac{2ab}{2\sqrt{(b+c)(c+a)}}\leq \frac{ab}{2}\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )$

Tưởng tự mấy cái kia rồi cái nào cùng mẫu thì bạn cộng lại với nhau là ra

Cho 2015 số thực dương a_1,a₂,.......,a₂₀₁₅ thỏa mãn

$\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\geq 89$

Chứng minh rắng trong 2015 số trên luôn tồn tại 2 số bằng nhau 

HPT$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=7\\ & \frac{x-y-23}{\sqrt{x-20}-\sqrt{y+3}}=6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=7\sqrt{x}-7\sqrt{y} \\ x-y-23= 6\sqrt{x-20}-6\sqrt{y+3} \end{matrix}\right.\\\Rightarrow 7\sqrt{x}-7\sqrt{y}-23=6\sqrt{x-20}-6\sqrt{y+3}$(*)

Từ PT 1 suy ra$\sqrt{x}= 7-\sqrt{y}$(3)

Từ PT 2 suy ra$\sqrt{x-20}=6-\sqrt{y+3}$ (4)

Thay (3) và (4) vào PT (*) suy ra $49-14\sqrt{y}-23=36-12\sqrt{y+3}\Leftrightarrow -10-14\sqrt{y}= -12\sqrt{y+3}\\\Leftrightarrow 5+7\sqrt{y}= 6\sqrt{y+3}$

Bình phương 2 vế của PT suy ra $25+70\sqrt{y}+49y=36y+108\Leftrightarrow 13y+70\sqrt{y}-83=0$

Từ đây bấm máy giải ra tìm y rồi thay vào tìm x

Cho $x> 0$

  Đặt $A=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$

         $B=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}$

 So sánh A và B. 

Có A=$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}= \frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}= \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$

Có B=$\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}= \frac{x+2-x-1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}= \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}$

Do $x> 0\Rightarrow \sqrt{x}< \sqrt{x+2}\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{x+1}< \sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}> \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}$

Suy ra A>B

Có $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}= \frac{a+b}{\sqrt{(c+ab)(a+b)}}= \frac{a+b}{\sqrt{(c+ab)(3-c)}}= \frac{2(a+b)}{2\sqrt{(c+ab)(a+b)}}$

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho mẫu suy ra $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq \frac{2(a+b)}{c+ab+3-c}= \frac{2(a+b)}{3+ab}$

Do $a+b+c=3\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca=9$

Chứng minh bất đẳng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Suy ra $3(ab+bc+ca)\leq 9\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

Theo câu trên ta có $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq \frac{2(a+b)}{3+ab}$

Mà $ab+bc+ca\leq 3\Rightarrow \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq \frac{2(a+b)}{2ab+ca+bc}= \frac{4(a+b)}{4ab+2c(a+b)}$

Áp dụng bất đẳng thức $4ab\leq (a+b)^{2}\Rightarrow \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq \frac{4(a+b)}{(a+b)^{2}+2c(a+b)}= \frac{4}{a+b+2c}$

Tương tự $\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}\geq \frac{4}{b+c+2a}\\\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq \frac{4}{c+a+2b}$

Chứng minh bất đẳng thức $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 9(x+y+z)$

Suy ra $\frac{4}{a+b+2c}+\frac{4}{b+c+2a}+\frac{4}{c+a+2b}\geq \frac{36}{4(a+b+c)}= \frac{36}{12}= 3$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

$Do\ a\geq b\geq c \Rightarrow a+b\Rightarrow 2c\Rightarrow \frac{a+b}{c}\Rightarrow 2\Rightarrow \frac{a^{2}-b^{2}}{c}\geq 2\left ( a-b \right )\\ Do\ a\geq b\geq c \Rightarrow b+c\leq 2a\Rightarrow \frac{b+c}{a}\leq 2\Rightarrow \frac{b^{2}-c^{2}}{a}\leq 2\left ( b-c\ \right )\Rightarrow \frac{c^{2}-b^{2}}{a}\geq 2\left ( c-b \right )\\ Do\ a\geq b\Rightarrow \frac{a}{b}\geq 1\Rightarrow \frac{a^{2}}{b}\geq a\\ Do\ c\leq b\Rightarrow \frac{c}{b}\leq 1\Rightarrow \frac{-c^{2}}{b}\geq -c$

Cộng 4 cái sẽ được điều phải chứng minh

Ta có a³+2b³+6=a³+abc+2b³+2abc+3 (do abc=1)

 Áp dụng cô si ta có  a³+abc ≥ 2a²√(bc)=2 (do abc=1)

                                 2b³+2abc  ≥ 4b²√(ac)=4 (do abc=1)

Suy ra a³+2b³+6 ≥9

Tương tự b³+2c³+6 ≥9,c³+2a³+6 ≥9

Thì P ≤1

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x^{2}+y^{2}-x-y=8$

Nhân cả 2 vế của pt với 4 ta đc 4x²+4y²-4x-4y=32

Suy ra (2x-1)²+(2y-1)²=34 mà 34=5²+3²

Nên (2x-1),(2y-1) thuộc tập hợp (5,3),(-5,-3),(-5,3),(5,-3) giải ra ta tìm đc x,y

Cho n là số nguyên dương. Chứng minh nếu $A = 2 + 2\sqrt{28n^{2}+1}$ là số nguyên thì A là số chính phương

Tìm giá trị nhỏ nhất P=(x+y)(x+z) biết:x,y,z >0; (x+y+z)xyz=1

Tính a+b với a là số chữ số của 2²⁰⁰⁹ và b là số chữ số của 5²⁰⁰⁹.
Giải giúp minh bài này với bằng cách của lớp 8 đc k

cho x,y,z dương,x+y+z≥12.Tìm giá trị nhỏ nhất của  P=x/√y+y/√z+z/√x

giải giúp em bài này vs

@Sieusieu90: Tiêu đề không đúng quy định . Lock topic! Bạn phải gõ latex nhé!