Duy PTNK

Cho 2 đường tròn w₁  và w₂ cắt nhau tại A, B. Một cát tuyến qua A cắt w₁ tại C và w₂ tại D. Tiếp tuyến tại C của w₁ và tiếp tuyến tại D của w₂ cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường trung trực của PB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BO₁O₂ với O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn w₁, w₂

Cho tam giác ABC khác tam giác cân. đường tròn tâm I nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADI, BEI, CFI thẳng hàng.

Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm ngoại tiếp O. AO cắt (O) tại A'; A'H cắt (O) tại A₁ và AH cắt (O) tại A₂; các cặp điểm B₁, B₂ và     C₁, C₂ được xác định tương tự. Chứng minh rằng A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ đồng quy.

Cho k₁, k₂, ..., k_n là n số dương. Chứng minh rằng: $min\left \{ k_{1}, k_{2}, ..., k_{n} \right \}$ < $\frac{\left ( k_{1}+k_{2}+...+k_{n} \right )^{2}}{k_{1}+2k_{2}+...+nk_{n}}$ < $2max\left \{k_{1}, k_{2}, ..., k_{n} \right \}$ 

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O và một đường thẳng d đi qua điểm O cắt hai cạnh AC và BC. Các hình chiếu tương ứng L và K của các điểm A và B trên d. Một đường thẳng đi qua L và vuông góc với BC cắt đường thẳng đi qua K và vuông góc với AC tại điểm M. Chứng minh rằng M nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC.