Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Nguyen Thi Thuy Nhung

Đăng ký: 04-08-2014
Offline Đăng nhập: 27-12-2016 - 00:24
***--

#579185 chứng minh rằng$\frac{a}{(a+3)^{2}}+...

Gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung trong 06-08-2015 - 20:37

đk là abc=1

abc=1 thì sao hả bạn? Ta đã sử dụng điều kiện này ở BĐT $ab+bc+ca+abc \geq 4$ 

BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$

Biến đổi tương đương cho ta BĐT là $a+b+c \geq ab+bc+ca$

Chứng minh được BĐT trên suy ra BĐT đầu là đúng, ta có đpcm.




#579120 chứng minh rằng$\frac{a}{(a+3)^{2}}+...

Gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung trong 06-08-2015 - 16:38

Ta có: $ab+bc+ca+abc \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+abc=4$

$\Leftrightarrow c(a+b+ab) \geq 4-ab$

$\Leftrightarrow c \geq \frac{4-ab}{a+b+ab}\ (1)$

Trong 3 số $a-1, b-1, c-1$ có 2 số có tích không âm. Giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0$

$\Leftrightarrow c(a-1)(b-1) \geq 0$

$abc+c \geq ac+bc\ (2)$

Từ (1) và (2) có:

$ab+bc+ca \leq ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab}$

Ta cần cm: $ ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab} \leq a+b+c$

$\Leftrightarrow ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab} \leq a+b+\frac{4-ab}{a+b+ab}$

$\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ (đúng)

Ta có đqcm. 




#579086 chứng minh rằng$\frac{a}{(a+3)^{2}}+...

Gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung trong 06-08-2015 - 15:44

Áp dụng BĐT $(x+y)^2 \geq 4xy$

$\frac{a}{(a+3)^2}=\frac{a}{[(a+1)+2]^2} \leq \frac{a}{8(a+1)}$

Tương tự, ta có BĐT sau:

$\frac{a}{(a+3)^2}+\frac{b}{(b+3)^2}+\frac{c}{(c+3)^2} \leq \frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)}$

Ta cần chứng minh: $\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}+ \frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow  ab+bc+ca \leq a+b+c$ (đúng)

Bạn có thể xem cách chứng minh BĐT trên ở http://diendantoanho...-abcgeq-abacbc/

Trong bài này, điều kiện là $ab+bc+ca+abc \geq 4$ nhưng cách chứng minh vẫn tương tự.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1




#558398 Cho a,b,c là dộ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2: CMR: $\f...

Gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung trong 08-05-2015 - 23:05

Mình xin đóng góp 1 bài 

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh

                    $3a^2+3b^2+3c^2+4abc \geq 13$

 

Ta có: $3-2a=a+b+c-2a=b+c-a >0$. Tương tự, ta có: $3-2b>0, 3-2c>0$

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

$(3-2a)(3-2b)(3-2c) \leq (\dfrac{3-2a+3-2b+3-2c}{3})^3=1$

$\Leftrightarrow 27-9(2a+2b+2c)+12(ab+bc+ac)-8abc \leq 1$

$\Leftrightarrow 27-54+12(ab+bc+ca)-8abc \leq 1$

$\Leftrightarrow 4abc \geq 6(ab+bc+ca)-14$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc \geq 3(a+b+c)^2 -14=13$

Đắng thức xảy ra khi $a=b=c=1$




#558334 $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac...

Gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung trong 08-05-2015 - 14:19

ĐKXĐ: $x > \dfrac{3}{2}$

Phương trình tương đương:

$\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4x-3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5x-6}}-\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{4x-3}-\sqrt{3x}}{\sqrt{x(4x-3)}}=\dfrac{\sqrt{3(2x-3)}-\sqrt{5x-6}}{\sqrt{3(2x-3)(5x-6)}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{\sqrt{x(4x-3)}(\sqrt{3x}+\sqrt{4x-3})}=\dfrac{x-3}{\sqrt{(2x-3)(5x-6)}(\sqrt{3(2x-3)}+\sqrt{5x-6})}\ (1)$
$\Rightarrow x=3$
Xét $x\neq 3$: 
$(1) \Leftrightarrow   \sqrt{x(4x-3)}(\sqrt{3x}+\sqrt{4x-3})=\sqrt{(2x-3)(5x-6)}(\sqrt{3(2x-3)}+\sqrt{5x-6})$
Nếu $x>3$ thì $ \sqrt{4x-3}<\sqrt{5x-6}, \sqrt{x}<\sqrt{2x-3}$
Do đó $VT<VP$, phương trình vô nghiệm.
Tương tự với $x<3$, ta có $VT>VP$, phương trình vô nghiệm.
Vậy $x=3$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
 

 




#556850 Tìm các giá trị của m để pt $(m-1)x^{2}-(m-5)x+(m+1)=0$ c...

Gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung trong 28-04-2015 - 22:20

Tìm các giá trị của m để pt $(m-1)x^{2}-(m-5)x+(m+1)=0$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1 (Nếu giải bằng cách đặt ẩn thì càng tốt )

 

Đặt $t=x+1 \Leftrightarrow t-1=x$, pt đã cho trở thành:

$(m-1)(t-1)^2-(m-5)(t-1)^2+m+1=0$

$\Leftrightarrow (m-1)t^2-(3m-7)t+3m-5=0\ (1)$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1 thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 0. Khi đó

$\left\{\begin{matrix} \Delta >0 & & \\ S>0 & & \\ P>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix} \Delta >0 & & \\ S>0 & & \\\ P>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Leftrightarrow -3m^2-10m+29>0 & & \\ \dfrac{3m-7}{m-1}>0& & \\ \dfrac{3m-5}{m-1}>0 \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{-5-4\sqrt{7}}{3}< m<1,\ \dfrac{7}{3}<m<\dfrac{-5+4\sqrt{7}}{3}$
 
Có thể sai kết quả do quá trình mình tính bị nhầm lẫn đâu đó, nhưng cách làm là như vậy. :)