Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


kimchitwinkle

Đăng ký: 07-08-2014
Offline Đăng nhập: 27-01-2020 - 16:01
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: USA TSTST 2017

19-07-2017 - 15:47

Bài 1 có thể mở rộng theo hướng của bạn Nguyễn Trần Hữu Thịnh đã đăng trên Bài toán hay - Lời giải đẹp - Đam mê toán học ở Facebook như sau:

Bài toán. Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $\Gamma$ tâm $O$. Một đường tròn đi qua $B$, $C$ cắt $AB$ ,$AC$ lần lượt tại $F$, $E$. $(AEB)$ cắt $(AFC)$ tại $D$. $(DEF)$ cắt $AB$, $AC$ lần thứ hai theo thứ tự tại $M$, $N$. $MN$ cắt tiếp tuyến ở $A$ của $\Gamma$ tại $P$. $(AEF)$ cắt $\Gamma$ tại $Q \neq A$. $AQ$ cắt $EF$ tại $R$. Chứng minh rằng $PR \perp OH$ với $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.

File gửi kèm  1.png   53.52K   43 Số lần tải


Trong chủ đề: $5(1+\sqrt{1+x^{3}})=x^{2}(4x^...

14-04-2017 - 17:36

. Chuyển vế phương trình tương đương:

$4x^{4}-25x^{3}+18x^{2}-5-5\sqrt{1+x^{3}}=0 \Leftrightarrow (2x^{2}+5\sqrt{1+x^{3}}+5)(2x^{2}-5\sqrt{1+x^{3}}+4)=0$

Tới đây không biết bạn biết làm chưa =)))))  :lol:

sau đó thế nào nhỉ?


Trong chủ đề: Tuần 4 tháng 8/2016: Bài toán qua tâm

22-12-2016 - 09:12

Mình xin đưa ra một mở rộng cho bổ đề trên:

Bài toán. Cho $\triangle ABC$ nhọn. $D$ là một điểm bất kì trên cạnh $BC$. Từ $D$ kẻ các đường thẳng song song $AB$, $AC$ lần lượt cắt $AC$, $AB$ tại $E$, $F$. Trên tia đối của các tia $FB$, $EC$ lần lượt lấy $N$, $M$ sao cho $\dfrac{NF}{LF}=\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{EK}{EM}$. Đường tròn $(J)$ đi qua $A$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. Gọi $I$ là tâm của $(AMN)$. Chứng minh rằng $AD$, $MN$, $IJ$ đồng quy.


Trong chủ đề: Tuần 4 tháng 8/2016: Bài toán qua tâm

22-12-2016 - 09:05

Gần đây mình phát hiện một số mở rộng cho bài toán này, trước hết mình xin đưa ra một lời chứng minh thuần túy không dùng đến phép nghịch đảo đối với bổ đề mà thầy Hùng đã đề cập ở tuần 5 tháng 8 năm 2016. Mình xin ghi lại bổ đề:

Bổ đề. Cho $\triangle ABC$ nhọn. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Đường tròn $(J)$ đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $D$ cắt $AC$, $AB$ lần lượt tại $K$, $L$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là điểm đối xứng của $K$, $L$ qua $E$, $F$. Cuối cùng gọi $I$ là tâm của $(AMN)$. Khi đó $AD$, $MN$, $IJ$ đồng quy.
File gửi kèm  thayhoa22122016.png   170.11K   51 Số lần tải
Chứng minh. Kéo dài $DE$, $DF$ cắt $(J)$ theo thứ tự tại $Y$, $Z$. Ta chứng minh $Y$, $M$, $N$, $Z$ thẳng hàng.
Thật vậy, ta có:
$$\overline{AM}\cdot\overline{AC}=\overline{KC}\cdot\overline{AC}=CD^2=BD^2=\overline{LB}\cdot\overline{AB}=\overline{AN}\cdot\overline{AB}$$
Do đó tứ giác $BCMN$ nội tiếp. Ta lại có:
$$\overline{EY}\cdot\overline{ED}=\overline{EA}\cdot\overline{EK}$$
$$\Leftrightarrow \overline{EY}\cdot\overline{AB}=\overline{EM}\cdot\overline{AC}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{\overline{EY}}{\overline{EM}}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AN}}{\overline{AM}}$$
Mặt khác $AN \parallel EY$ nên theo định lý Thales đảo ta có $Y$, $M$, $N$ thẳng hàng. Tương tự $Z$, $M$, $N$ thẳng hàng hay bốn điểm $Y$, $M$, $N$, $Z$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Tới đây mình có hai cách để giải quyết tiếp bài toán:

Cách 1. Thông qua biến đổi góc, ta có:
$$\widehat{AIN}=2\widehat{AMN}=2\widehat{YZD}=\widehat{YJD}$$
Suy ra $\triangle AIN \backsim \triangle DJY$. Như thế ta được:
$$\dfrac{AI}{JD}=\dfrac{AN}{YD}=\dfrac{AP}{PD}$$
Mặt khác do $MN$ đối song $BC$ nên $AI \text{ } \bot \text{ } BC \text{ } \bot \text{ } JD$ hay $AI \parallel JD$. Áp dụng định lý Thales đảo ta thu được $I$, $P$, $J$ thẳng hàng. Ta kết luận $AD$, $MN$, $IJ$ đồng quy.

Cách 2. Gọi $T$ là giao điểm của $EF$ và $YZ$. Gọi $S$ là giao điểm của $AT$ và $(J)$. Dễ thấy các tứ giác $EFZY$ và $MNFE$ nội tiếp. Ta có:
$$\overline{TS}\cdot\overline{TA}=\overline{TZ}\cdot\overline{TY}=\overline{TF}\cdot\overline{TE}=\overline{TN}\cdot\overline{TM}$$
Như vậy $ASNM$ nội tiếp. Do đó $AS \text{ } \bot \text{ } IJ$. Để chứng minh $I$, $P$, $J$ thẳng hàng thì ta cần chứng minh thêm $AS \text{ } \bot \text{ } IP$. Thật vậy, thông qua biến đổi góc:
$$\widehat{ANP}=\widehat{ZYD}=\widehat{ZAP}$$
Do đó $\triangle ZAP \backsim \triangle ANP$. Suy ra $PA^2=\overline{PN}\cdot \overline{PZ}$. Tương tự $PA^2=\overline{PM}\cdot \overline{PY}$.
Bây giờ ta chứng minh $(SNZ)$ tiếp xúc $(SMY)$. Thật vậy:
$$\widehat{SZN}+\widehat{SYM}=180^o-\widehat{ZSY}=\widehat{ZDY}=\widehat{MAN}=\widehat{MSN}$$
Vậy $(SNZ)$ tiếp xúc $(SMY)$. Suy ra $PS^2=\overline{PN}\cdot \overline{PZ}=\overline{PM}\cdot \overline{PY}=PA^2$. Do đó $\triangle SAP$ cân tại $P$. Vậy $AS \text{ } \bot \text{ } IP$ hay $I$, $P$, $J$ thẳng hàng. Ta kết luận $AD$, $MN$, $IJ$ đồng quy.


Trong chủ đề: Bài kiểm tra Trường Đông Toán học 2016 - Viện Toán học Hà Nội

16-12-2016 - 22:17

Một cách phát biểu khác tương đương với bài toán của thầy Hùng, ở đây $D$ là điểm bất kì và thay đường trung tuyến bằng đường đẳng giác của $AD$:
File gửi kèm  truongdongvientoan2016day2morong.png   161.99K   51 Số lần tải
Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ là một điểm nằm trên $(O)$. Trên đường thẳng $CA$, $AB$ lần lượt lấy $E$, $F$ sao cho $CD \text{ } \bot \text{ } ED$, $BD \text{ } \bot \text{ } FD$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $BC$ cắt đường đẳng giác của $AD$ đối với $\triangle ABC$ tại $L$. Khi đó $L$ nằm trên đường tròn $(ADFE)$.