123456789987654321

(gt) $\Rightarrow 2014=\frac{b-a}{a+b}+\frac{2b+a}{a}-\frac{2a+b}{b}=\frac{t-1}{t+1}+2t-\frac{2}{t}=\frac{3t^2-3t+2t^3-2}{t(t+1)}$ với $t=\frac{b}{a}$

Giải pt $\Rightarrow t$ (Nhưng ở đây nghiệm ko đẹp và rất phức tạp, 1 nghiệm vô tỷ và 2 nghiệm phức nên ko trình bày ra đây)

T $=\frac{t+1}{t-1}+\frac{2}{t}-2t=\frac{3t^2+3t-2t^3-2}{t(t-1)}$

Ta có : $2014+T=\frac{2t^3+2t}{t(t-1)(t+1)}=2+\frac{4}{t^2-1}$

 

Bài này cho số ko đẹp tí nào !!

Gọi :$M=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}$

Ta có :

$\frac{c}{a-b}M=1+\frac{c}{a-b}\left ( \frac{c-a}{b} +\frac{b-c}{a}\right )$

=$1+\frac{c}{a-b}\left ( \frac{(a-b)(c-a-b)}{ab}\right )$

=$\frac{2c^{2}}{ab}+1$ (vì -a-b=c)

=$\frac{2c^{3}}{abc}+1$

Tương tự ta có :

$\frac{a}{b-c}M=\frac{2a^{3}}{abc}+1$ 

$\frac{b}{c-a}M=\frac{2b^{3}}{abc}+1$

=>$M(\frac{2a^{3}}{abc}+\frac{2b^{3}}{abc}+\frac{2c^{3}}{abc})+3$

=$2(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc})+3$

Vì a+b+c=0

=>$M.T=M(\frac{2.3abc}{abc})+3=6+3=9$$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ dễ cm rồi

=>$M.T=\frac{2.3abc}{abc}+3=6+3=9$

=>T =$\frac{9}{2014}$

kết quả đẹp mà !

=> $a+b+c+d\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\geq 4\sqrt[4]{abcd}$ sao ra được vậy thế bạn

 

 

vì theo bất đẳng thức cauchy a+b$\geq2 \sqrt{ab}$  nên $2\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{cd} \right )\geq 2.2\sqrt[4]{abcd}$

 

Bài.9: 1. Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn a-b=$\sqrt{1-b^{2}}-\sqrt{1-a^{2}}$

          

Cmr: $a^{2}+b^{2}=1$

                         

3. Chứng minh bất đẳng thức Côsi với ba số a,b,c không âm

   $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

Gọi d= $\frac{a+b+c}{3}$

Ta có a+b$\geq 2\sqrt{ab}$ => a+b+c+d $\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}$

Mà $2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\geq 4\sqrt[4]{abcd}$

=> $a+b+c+d\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\geq 4\sqrt[4]{abcd}$

Thay d=$\frac{a+b+c}{3}$ thì ta có:

$a+b+c+\frac{a+b+c}{3}\geq 4\sqrt[4]{abc(\frac{a+b+c}{3})}$

=>$4(\frac{a+b+c}{3})\geq 4\sqrt[4]{abc(\frac{a+b+c}{3})}$ (nhân cả 2 vế cho $\frac{1}{4}$ ta mất 4 cả 2 vế)

=>$(\frac{a+b+c}{3})^{4}\geq abc(\frac{a+b+c}{3})$

=>$\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{3}\geq abc$

=>$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$ (đpcm)

=> 

ĐK Bài 2 là cho a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ và$a^{3}+b^{3}+c^{3}=2^{9}$