123456789987654321

1. Giả sử x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn $x(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+y(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})+z(\frac{1}{z}+\frac{1}{y})=-2$ và $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$                                                                        Tính giá trị : $P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
2. Cho a,b>0 thỏa mãn điều kiện $a^{2}=b+3992$ và x,y,z là nghiệm dương của hệ :$x+y+z=a$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=b                                                                                                                              Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x,y,z :                                                                              $P=x\sqrt{\frac{(1996+y^{2})(1996+z^{2})}{1996+x^{2}}}+y\sqrt{\frac{(1996+z^{2})(1996+x^{2})}{1996+y^{2}}}+z\sqrt{\frac{(1996+x^{2})(1996+y^{2})}{1996+z^{2}}}$                                   
3. Cho các số thức không âm x,y,z đôi một khác nhau thỏa mãn :(x+z)(y+z)=1                                               Chứng minh rằng : $\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(x+z)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}\geq 4$
4. Rút gọn biểu thức $A=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+......+\frac{1}{2005\sqrt{2004}+2004\sqrt{2005}}$
5. Cho a,b,c>0 .Chứng minh rằng : $\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}\geq \frac{a+b+c}{3}$
6. Cho x,y thỏa mãn x>0,y>0 ,$x+y\leq 1$ .Tìm gtnn của $P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}+xy$
7. Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c ta có : $4a+3b+5c\geq 2(\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+3\sqrt{ca})$ .  Đẳng thức xảy ra khi nào ?
8. Với a,b là những số thức dương . Tìm gtnn của $P=\frac{a+b}{\sqrt{a(11a+5b)}+\sqrt{b(11b+5a)}}$
9. Cho a,b,c là các số thức dương thỏa mãn hệ thức a+b+c=6abc .Chứng minh rằng                                                  $\frac{bc}{a^{3}(c+2b)}+\frac{ca}{b^{3}(a+2c)}+\frac{ab}{c^{3}(b+2a)}$                                                                         mình lm bài 2,4 rồi nha !!

Bài 1 : 

 

a) Chứng minh : $(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

 

b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki : $(ac+bd)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

 

Bài 2 :

 

a) Cho x+y=2. Tìm gtnn của biểu thức : $S=x^{2}+y^{2}$

 

b) Cho x,y,z dương thỏa mãn $x+y\leq z$ . Tìm gtnn của :

 

                                          $T=(x^{4}+y^{4}+z^{4})(\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}})$

 

Bài 3 : 

 

a) Cho $a\geq 0 ,b\geq 0$ . Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

 

b) Cho $a,b,c > 0$ . Chứng minh rằng :$\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$

 

c) Cho a,b>0 và 3a+5b=12 . Tìm gtln của biểu thức P=ab

 

d) Cho a+b=1 .Tìm gtnn của biểu thức $M=a^{3}+b^{3}$

 

Bài 4 : 

 

a) Tìm các số a,b,c,d biết rằng :$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=a(b+c+d)$

 

b) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1$

 

Tìm gtnn của biểu thức :$P=\sqrt{2x^{2}+3xy+4y^{2}} +\sqrt{2y^{2}+3yz+4z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+3xz+4x^{2}}$

 

Bài 5 :

 

a) Cho biểu thức : $M=a^{2}+ab+b^{2}-3a-3b+2014$ . Với gt nào của a,b thì M đạt gtnn . Tìm gtnn đó ?

 

b) Chứng minh rằng không có gt x,y,z nào thỏa mãn đẳng thức sau :

 

                                          $x^{2}+4y^{2}+z^{2}-2x+8y-6z+15=0$

 

Bài 6 :

 

Cho $S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+....+\frac{1}{k(1998-k+1)}+....+\frac{1}{\sqrt{1998.1}}$

 

                                   Hãy so sánh S và $2\frac{1998}{1999}$

 

Bài 7 : Cho các số x và y cùng dấu . Chứng minh rằng :

 

a) $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$

 

b) $(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})-(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 0$

 

c) $(\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}})-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 2$

 

Bài 8 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1 . Tìm gtln của biểu thức 

 

$S=\frac{1}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{(b+1)^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{(c+1)^{2}+a^{2}+1}$

 

                         ( Tuyển sinh 10 chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2010-2011)

 

Bài 9 :

 

a) Chứng minh rằng :$\left | A+B \right |\leq \left | A \right |+\left | B \right |$ . Dấu ''='' xảy ra khi nào?

 

Bài 10 :  Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng

 

 

$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{a^{5}+c^{5}+ca}$$\leq 1$

 

Bài 1,2a,3,4a,5b,6,7a lm rồi nhé

 

 

 

 

 

 

 

Bài.1: Cho a+b+c=0 và $\frac{a-b}{c} +\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}$ = 2014 . Tính giá trị của biểu thức:

                   T=$\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}$ 

Bài.2: Cho a,b,c thỏa mãn :$\left \{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c};a^{3}+b^{3}+c^{3}=2^{9}$

            Hãy tính P=$a^{2015}+b^{2015}+b^{2015}$

Bài.3: Cho x=$\frac{2}{2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4}};y=\frac{6}{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-2}$

           Tính giá trị của biểu thức : M=$xy^{3}-yx^{3}$

Bài.4: Cho $x=\frac{1}{3}\left ( \frac{\sqrt[3]{23+\sqrt{513}}}{\sqrt[3]{4}}+\frac{\sqrt[3]{23-\sqrt{513}}}{\sqrt[3]{4}} -1\right )$

           Tính $A=2x^{2}+2x+1$

Bài.5: Chứng minh rằng $\frac{1}{6}< \frac{3-\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}{3-\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}$ $< \frac{5}{27}$ (có n căn ở tử và n-1 căn ở mẫu số)

Bài.6: 1.Chứng minh rằng $S=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4....\sqrt{2015}}}}< 3$

           2.Tính giá trị của biểu thức :$B=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13\sqrt{5\sqrt{13....}}}}}}$

         (Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức 5 và 13 một cách vô hạn lần.)

Bài.7: Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $x+y+z+\sqrt{xyz}=4$

          Tính $S=\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-x)(4-z)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}$

Bài.8: 1. Tính giá trị của biểu thức $A=(x^{3}-3x-3)^{2011}$ với$x=\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}}$

                  (Tuyển sinh lớp 10,Chuyên tỉnh Thái Bình , Năm học 2010-2011)

          2.  Thu gọn biểu thức : $B=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$

                  (Thi học sinh giỏi tỉnh Hưng Yên,2002-2003)

Bài.9: 1. Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn a-b=$\sqrt{1-b^{2}}-\sqrt{1-a^{2}}$

           2. Chứng minh rằng số $\sqrt{2009^{2}+2009^{2}2010^{2}+2010^{2}}$ là số nguyên dương

                  (Tuyển sinh lớp 10, Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội , Năm học 2010-2011,v2)

Bài.10: Tính giá trị của biểu thức:$M=(x-y)^{3}+3(x-y)(xy+1)$ ,biết

            $x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}, y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}-\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}}$

                  (HSG Hà Tĩnh, Năm học 2012-2013)

Với a,b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1+a)(1+b)= 9  , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
                                                                                        4
P=căn bậc hai của (1+a⁴) + căn bậc hai ( 1+b⁴)

P/s: mk ko biết viết dấu căn bậc hai

$P=\frac{x^2}{x-1}$ với $x>1$       

Tìm GTNN của P (giải hộ với)

 

 @MOD: bạn post bài sai topic, không gõ latex, sai tiêu đề! Đề nghị xem lại : http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/63178-c%C3%A1ch-g%C3%B5-latex-m%E1%BB%9Bi-tr%C3%AAn-di%E1%BB%85n-%C4%91%C3%A0n/ và http://diendantoanho...ệc-đặt-tiêu-đề/ . Mình sẽ sửa cho bạn lần này!