CandyPanda

áp dụng bdt BCS dạng cộng mẫu ta có

$VT>=9/(a+b+c+bc+ac+ab)>=9/(3+3abc)=9/(1+abc)

Sao lại có 9/(a+b+c+bc+ac+ab)>=9/(3+3abc) thế bạn ơi ?

Cách khác:
Đặt $abc=k^{3}$. Suy ra tồn tại x,y,z dương thỏa mãn: $a=k\frac{x}{y}, b=k\frac{y}{z}, c=k\frac{z}{x}$

Khi đó, ta có:

VT = $\sum \frac{1}{k\frac{x}{y}+k^{2}\frac{x}{z}} = \sum \frac{yz}{kxz+k^{2}xy} = \sum \frac{(yz)^{2}}{kxyz^{2}+k^{2}xy^{2}z} \geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{kxyz(x+y+z)+k^{2}xyz(x+y+z)}\geq \frac{3}{k+k^{2}}$
Lại có: $(k+1)(k-1)^{2}\geq 0 \Leftrightarrow k+k^{2}\leq 1+k^{3}$
Vậy ta có đpcm